alors on:

sh(t)=1/2[exp(t)-exp(-t)]=x
on pose exp(t)=T donc exp(-t)=1/T

sh(t)=1/2(T-1/T)=x donc on est amené a résoudre: T²-1=2Tx d'ou T²-2Tx-1=0 (eq d'ordre 2)

on obtient une unique sol positive T=x+(1+X²)
d'ou t=ln [x+(1+X²)]

comme sh(t)=x alors t=argsh(x)=ln [x+(1+X²)]

Bonjour,

Arslane a donnée la solution.

On pouvait aussi s'appuyer sur les propriétés des
fonctions hyperboliques et inverses:

  argsh(x)     =   ln(x+sqrt(x^2+1))
argsh(sh(x))  =   ln(sh(x)+sqrt(sh^2(x)+1))
         x     =   ln(sh(x)+ch(x))= ln(exp(x))
               =    x


Alain

Bonjour

Et voilà une troisième solution:

Vérifier que les dérivées de et sont égales. Comme elles valent toutes deux 0 pour x=0...

Bonjour Camélia,

Ce que tu écris revient à dire que deux fonctions
ayant en un point donné même pente (direction)
sont égales...


Alain

Bonjour,
Je pense que la démonstration de Camélia est basée sur:
f'(x) = g'(x)
ET
il existe x₀ tel que f(x₀) = g(x₀)
Alors
f(x) = g(x)
Sous réserve bien sûr des règles traditionnelles sur les domaines de définition.

Bonjour

Et ne pas oublier de préciser que l'égalité est vrai sur un intervalle (en l'occurence R) sinon on a pas toutes les hypothèses

Oui, bien sur, je voulais dire que les dérivées sont partout égales et que les fonctions coïncident au point 0.

Je m'en doutais.
C'est d'ailleurs la démonstration, à mon goût, la plus élégante.
J'aurais été tout fier d'y avoir pensé.

bonjour tout monde
vous etes gentille
merci beaucoup à tous

De rien. Au contraire même: J'ai retrouvé des trucs oubliés...
Et puis, c'est la raison d'être de lîle!

Cette solution est peut etre plus élégante mais est peu utile dans le sens où pour l'appliquer il faut déjà connaître le resultat...

La méthode la plus interressante est ,selon moi, celle d'arslane car elle permet de retrouver l'égalité si on l'a oublié et si la deuxième question était "trouver une formule analogue pour argch" on pourrait la réutiliser...

C'est comme les goûts et les couleurs: Ça ne se discute pas...
Et puis ça laisse un peu de place à la poésie. Même en sciences...

oui bien sur

> hedgefunder Bien entendu des gouts et des couleurs... Seulement pour calculer la dérivée de argsh on n'a pas besoin de connaitre le résultat; on procède comme pour toute fonction réciproque...

bonjour
exactement Camélia

Je ne pensais ça! mais je reconnais que c'est ambigüe

ce que je voulais dire c'était que si l'énoncé ne dit pas

"argsh(x)=ln(x+(x^2+1)^0.5)" cette méthode est inapplicable

celle d'arslane est plus générale en quelque sorte, car si la question suivante est

trouver une formule analogue pour argch

sans préciser "argch(x)=ln(x+(x^2-1)^0.5)" tu es obligée d'employer la méthode d'arslane.


Mais c'était une remarque comme ça, car il est clair que telle que la question est posée il est plus simple de dériver...

bonjour
maintenant je comprends que ce que tu as dis que la méthode d'arslane est tres eficace