Bonjour.

Je trouve f '(x) = 1.

Pourriez vous écrire, votre raisonnement de manière que je puisse voir comment vous aboutissait à ce résultats?

As-tu regardé le domaine de définition ?

La dérivée de th(x) est 1 - th²(x)

La dérivée de argth(u) est :

En tenant compte de ces deux formules on arrive au résultat.

Au passage :

Pour le domaine de définition j'ai trouvé que f était définie sur , j'ai fait le raisonnement suivant:
x on a y = th(x) ]-1;1[
x   ]-1;1[ on a y = argth (x)
donc le problème revient à : x (1+3th)/(3+th) ?  ]-1;1[.
je pose ensuite que pour tout x dans , -1 < th(x) < 1 et j'arrive à deux encadrements -2 < 1+3th(x) < 4 et 2 < 3+ th(x) < 4 qui me permet de dire que le quotient existe car 3+ th(x)0 , et en réunissant les inégalités j'arrive à -1 < (1+3th)/(3+th) < 1 ce que je recherchais, mon raisonnement tient il la route?

Impeccable : D = IR

Personnellement j'avais résolu directement la double inéquation :

-1 < < 1

Elle conduit à gauche à : -4 < 4thx
à droite à 2thx < 2

Donc, toujours réalisé puisque -1 < thx < 1.

merci pour votre aide =), cependant je ne vois pas ce que l'on peut déduire sur f à la question 3), encore merci

Quelles sont les fonctions dont la dérivée est égale à 1 ?

La formule de définition de f(x) peut s'écrire :

th[f(x)] = (1 + 3thx)/(3 + thx) = (1/3 + thx)/(1 + (1/3)thx), soit, en posant tha = 1/3

= (tha + thx)/(1 + tha thx) = th(a + x).

D'où  f(x) = x + a.

La dérivée de f(x) sous cette forme est plus facile à calculer !