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Argument de zéro

Posté par
Spiderman
12-04-11 à 18:44

Bonjour !

Une petite question rapide. Peut-on démontrer que le nombre complexe zéro n'a pas d'argument ?

Merci pour vos réponses...

Posté par
raymond Correcteur
re : Argument de zéro 12-04-11 à 18:50

Bonjour.

r.(cos(t) + isin(t)) = 0

r = 0 ou cos(t) + isin(t) = 0

r = 0 ou cos(t) = 0 et sin(t) = 0

Il n'existe aucun angle t tel que cos(t) = sin(t) = 0

Posté par
Spiderman
re : Argument de zéro 12-04-11 à 19:49

Merci pour cette réponse Raymond !
Cependant, je ne suis pas encore convaincu : içi, on montre que z=0 entraine r=0. Et non pas qu'il n'existe pas de t tel que... etc...

Posté par
raymond Correcteur
re : Argument de zéro 12-04-11 à 19:56

On ne peut pas appliquer : cos(t) = a/r

Posté par
Spiderman
re : Argument de zéro 12-04-11 à 20:13

J'entends bien... mais où voulez vous en venir ?

Posté par
Spiderman
re : Argument de zéro 13-04-11 à 10:49

D'autres idées ?

Posté par
dhalte
re : Argument de zéro 13-04-11 à 10:56

raymond t'a donné l'argument qui tue.

il n'existe pas d'angle t dont le cosinus ET le sinus soient simultanément nuls.
donc on ne peut pas attribuer d'argument au complexe 0

son second argument est tout aussi pertinent : l'argument d'un complexe est défini à partir du rapport de ses parties réelle et imaginaire à son module, ce qui définit cosinus et sinus de l'argument

or z a pour module 0, on ne peut calculer ce rapport. on ne peut pas définir cosinus et sinus de l'éventuel argument de 0
on ne peut pas définir son argument.

Posté par
Spiderman
re : Argument de zéro 14-04-11 à 10:55

Merci pour ce message Dhalte !

J'ai bien lu et relu les réponses apportées ici. J'ai beau faire des efforts, ca ne me convainc pas du tout.
En effet il n'existe pas d'angle dont le cosinus et le sinus soient tous les deux nuls. Cependant, le module de zéro étant nul, on n'a pas forcément besoin d'avoir la condition cos t = sin t = 0 !

Comme tu dis, on ne peut pas calculer les rapports cos/module et sin/module si le module est nul. Ce second "argument" (lol) me semble plus convainquant mais... quelque chose cloche il me semble...
Je vais réétudier ca...

En tous cas, je suis catégorique, la première réponse apportée ne tient pas la route car elle n'entraine QUE le fait que le module doit etre nul !

Posté par
dhalte
re : Argument de zéro 14-04-11 à 19:19

Bonne recherche...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Argument de zéro 14-04-11 à 19:35

Spiderman

Tout dépend des définitions utilisées pour les cos, sin, argument ...

Mais, on peut facilement "sentir" que l'argument du nombre complexe 0 n'a pas de sens.

En partant dans ta manière de voir, :  z = |z|.cos(Phi) + i.|z|.sin(Phi)
Si z = 0 --> |Z| = 0 et on a donc : 0*cos(Phi) + i*0*sin(Phi) = 0 (1)

Il est évident qu'on peut choisir Phi = N'IMPORTE QUOI, la relation (1) sera toujours respectée.

Donc Phi est indéterminé, puisque n'importe quelle valeur conviendrait ici pour Phi.

L'argument du nombre complexe nul est donc indéterminé... il n'a aucune "signification", il n'apporte rien comme indication ...

On préfère alors dire simplement que "le nombre complexe nul n'a pas d'argument".
-----
Mais ceci est une approche de non matheux (moi) et pourrait être critiquée par certains puristes.

Posté par
Spiderman
re : Argument de zéro 14-04-11 à 23:21

Bonsoir J-P et merci pour ta réponse. Je sens bien que tu comprends ce que je voulais dire dans mon message précédent. Ca me rassure !

Concernant ton explication, elle me convient beaucoup plus que les précédentes puisqu'à la base, je me demandais simplement si on pouvait, mathématiquement, accepter l'idée que 0 possède une infinité d'arguments ! (bien que ce ne soit pas conventionnel)
La réponse semble etre positive, comme je le pensais.

Merci pour toutes ces aides et bonne route à tous !

Posté par
raymond Correcteur
re : Argument de zéro 15-04-11 à 16:00

Bon week end



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