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Arithmétique

Posté par
Vlam 28-11-13 à 18:27

Bonsoir à tous!

Je sèche sur un problème, de l'aide serait la bienvenue!

Montrer que pour tout n appartenant à N, n² divise (n+1)^n-1

J'ai pensé à utiliser Bernoulli puis le binôme de Newton mais je dois faire fausse route parce que je suis coincé...

(n+1)^n=n\times\sum_{k=0}^{n-1} (n+1)^k

=n\times\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{k} \begin{pmatrix}k\\l\end{pmatrix}\times (n+1)^l  

Merci d'avance pour tout coup de main (sachant que j'essaye de faire apparaitre n²).

Posté par
Vlamre : Arithmétique 28-11-13 à 18:28

Erreur, c'est bien sur (n+1)^n-1 (mais les calculs restent -je l'espère-, corrects).

Posté par
kybjmre : Arithmétique 28-11-13 à 18:32

(1 + n)n - 1 = C(n,1)n + C(n,2)n² +....+ C(n,n-1)nn-1 + nn

Posté par
Vlamre : Arithmétique 28-11-13 à 18:39

Bonjour, C veut dire combinatoire? J'ai un doute , je ne manipule pas trop cette écriture cette année...

Tu appliques ici le binôme de Newton uniquement sur (n+1)^n?

(n+1)^n-1=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times n^k -1

Mais alors comment faire apparaitre ce fichu n^2? N'as-tu pas oublié le -1 dans ton expression?

Merci de m'aider!

Posté par
veledare : Arithmétique 28-11-13 à 18:42

bonjour,
tu développes (n+1)n
(n+1)^n-1=\sum_{k=1}^n(_k^n)n^kle terme de plus bas degré est(_1^n)n

Posté par
kybjmre : Arithmétique 28-11-13 à 18:58

C'est ti pas ce que j'ai écrit ? (A l'ancienne )

Posté par
veledare : Arithmétique 28-11-13 à 19:13

>>kybjm
c'est bien la même chose cela montre  simplement que je suis très lente  à taper  (si je fais une actualisation pour voir s'il n'y a pas eu une réponse ce que j'ai écrit disparait)

Posté par
Glapion Moderateurre : Arithmétique 28-11-13 à 22:46

Oui mais pour l'instant ça ne montre pas que c'est divisible par n², si ?

Posté par
Vlamre : Arithmétique 28-11-13 à 22:55

Bonsoir et merci pour ces réponses!

Désolé de répondre si tard.

J'imagine qu'en vérifiant "manuellement" la propriété au rang 1, puis en rappelant que si n>=2, on peut factoriser par n², on montrer que c'est divisible sur N?


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