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Niveau terminale
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Arithmétique 6

Posté par
Samsco
13-01-21 à 22:26

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

Déterminer les éventuelles couples (a , n) d'entiers  naturels tels que:

a) 5n=a²-2
b) 5n=a²+9

Je ne sais pas comment procéder

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique 5 13-01-21 à 22:58

Bonjour,

b) a déjà une solution évidente : 9 = 3² et 3²+4² = 5² donc a = 4 et n = 2

Pour une approche plus générale, les puissances de 5 se terminent toutes par 5.
J'ai fait un tableau des a²-2 et des a²+9 pour les premières valeurs de a jusqu'à 100, je n'ai vu aucune valeur de a²-2 qui finisse par 5.
J'aurais envie de tenter de démontrer qu'il n'y a pas de solutions à 5n = a²-2. Une étude des a²-9 modulo 5 s'impose !
J'ai également comparé le tableau des a²+9 aux tableau des 5n pour les premières valeurs de n, et la seule solution que j'ai trouvée c'est ma solution "évidente" du début.
Voilà, ce ne sont pas des solutions, mais des pistes de réflexion.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 5 14-01-21 à 07:14

Bonjour,
Pour a), cet extrait de "Arithmétique 3" peut aider :

Samsco @ 11-01-2021 à 23:28

Ok , si ni a , ni b , ni c n'est divisible par 5:
les restes possibles de la division euclidienne de a , b ou c par 5 sont 1 , 2 , 3 et 4

les restes de la division euclidienne de a² , b² ou c² sont : 1 , 4 , 4 , 1

Comment je dois procéder pour tous les restes possibles de la division euclidienne de a²+b²+c² par 5.


PS Je change le titre "Arithmétique 5" en "Arithmétique 6", car le premier existe déjà

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 07:53

Merci Sylvieg
Ça règle très rapidement la question pour a) qui n'a effectivement pas de solution.

Pour b) j'ai un peu progressé.
D'abord, a est évidemment pair, je pose a = 2p, donc :
5n -  4p² = 9
Si je suppose n pair, je pose n = 2q, il vient :
52q - 4p² = 9
(5q-2p)(5q+2p) = 9
Les diviseurs de 9 étant 1, 3, 9, il vient :
5q-2p = 1 et 5q+2p = 9
La deuxième égalité impose q = 1 et p = 2, ce qui est compatible avec la première.
On retombe sur 3²+4²=5²
Il reste à traiter le cas n impair en cherchant dans le sens d'une impossibilité.
Je n'ai plus le temps ce matin, j'y reviendrai ce soir, mais peut-être que quelqu'un aura fini le travail d'ici là ?

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 08:47

On peut aussi en s'inspirant de Arithmétique 3 étudier a²+9 [5], les restes possibles sont 10 0 et 13 3, donc se limiter à étudier les cas tels que a² 1 [5]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 09:03

Ma petite touche aussi :
Si \; 5n = a2 + 9 \; alors \; 5n 9 \; ; donc \; n 2 .

Remarque : \; a2 + 9 0 [5] \; donne directement \; a2 1 [5] \;
Et on peut en déduire \; a 1 [5] .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 09:13

Je ne vais plus être disponible non plus avant la fin d'après midi.

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 11:00

salut

pas facile en terminale quand même ... surtout sans guide ...

5^n = a^2 - 2 \Longrightarrow 1 \equiv a^2 - 2  [4] \iff a^2 \equiv 3  [4]

or 3 n'est pas un carré modulo 4 (à prouver) ...



5^n = a^2 + 9 \Longrightarrow 1 \equiv a^2 + 1  [4] \iff a^2 \equiv 0  [4]

si a = 4m  et en utilisant le binome de Newton :

5^n = a^2 + 9 \iff 1 + 4n + 16k = 16m^2 + 9 \Longrightarrow 1 + 4 n \equiv 9  [16] \iff 4n = 8  [16]

on retrouve la solution n = 2 ... puis voir les autres cas ...

si a = 4m + 2 ....

5^n = a^2 + 9 \iff 5^n = 16m^2 + 16m + 13 \Longrightarrow m^2 + m + 3 \equiv 0  [5] \iff (m - 1)(m + 2) \equiv 0  [5]

Posté par
flight
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 12:19

salut

pour a) une proposition ;

5 = 1[2]  alors   5n=1[2]   comme 5 n= a²-2  alors  
a²-2 = 1[2]  et a² = 3[2]   soit  a² =1[2]   et donc  a est de la forme a = 2.j+1

on reprend 5 n= a²-2  et donc 5n = (2j+1)²-2 = 4j²+4j -1

il vient  5n+1 = 4j(j+1)=8k   puisque j(j+1) est pair .

reste à verifier que  51+1 est un multiple de 8  : (pas forcement et dans ce cas on pourra affirmer que l'equation de depart n'a pas de solution)

si n est pair , n=2k    alors 5n+1 = 4j(j+1)=8k   s'ecrit  :52k+1 = 4j(j+1)=8k  ,  or  25 =5² = 1[8]  --> 52k = 1[8] -->52k +1= 2[8]
donc avec n pair pas de solutions.
si n est impair avec le meme raisonnement on a  52k+1=5[8]   , pas de solutions aussi .

donc  (a) n'a pas de solutions sauf erreur  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 14-01-21 à 16:12

Le a) peut se résoudre plus simplement à partir de mon message de 7h14 (en traitant à part le cas n = 0) ou de celui de carpediem à 11h.

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 07:41

carpediem @ 14-01-2021 à 11:00

5^n = a^2 - 2 \Longrightarrow 1 \equiv a^2 - 2  [4] \iff a^2 \equiv 3  [4]

or 3 n'est pas un carré modulo 4 (à prouver) {\blue{3 \equiv 3[4]}} , 3 n'est pas un carré parfait donc 3 n'est pas un carré modulo 4


5^n = a^2 + 9 \Longrightarrow 1 \equiv a^2 + 1  [4] \iff a^2 \equiv 0  [4]

si a = 4m  et en utilisant le binome de Newton :

5^n = a^2 + 9 \iff {\blue{1 + 4n + 16k}} = 16m^2 + 9 \Longrightarrow 1 + 4 n \equiv 9  [16] \iff 4n = 8  [16]
Je ne comprends pas pourquoi 5^n=1+4n+16k

(0+5)^n=\sum_{k=0}^n (nCk)0^k×5^{n-k}=0

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 07:51

Citation :
les restes de la division euclidienne de a² , b² ou c² sont : 1 , 4 , 4 , 1


a) 5^n=a²-2

5^n \equiv 0[5] \Rightarrow a²\equiv 2[5] (impossible) car les restes de la division euclidienne de a² modulo 5 sont 0 ; 1 ; -1

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 07:53

Samsco @ 15-01-2021 à 07:51

les restes de la division euclidienne de a² modulo 5 sont 0 ; 1 ; 4

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 08:19

Bonjour,
Je réponds pour les restes modulo 5 de a2 :
Tu as raison ; c'est une coquille avec un mélange "division ... modulo" au lieu d'une phrase avec que du "congru" ou avec que "division" :
a2 est congru à 0 ; 1 ; -1 modulo 5.
ou :
Les restes de la division euclidienne de a² par 5 sont 0 ; 1 ; 4.

Pour 5n = 1+ 4n + 16k, j'ai eu du mal à trouver ta phrase.
La prochaine fois, mets là en évidence avec du gras ou de l'italique
5n = (1+4)n à développer avec la formule du binôme :
(1+4)n = 1n + n4 + ...42 + ...43 + ...

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 13:26

D'accord j'ai compris !

carpediem @ 14-01-2021 à 11:00



5^n = a^2 + 9 \Longrightarrow 1 \equiv a^2 + 1  [4] \iff a^2 \equiv 0  [4]si a = 4m  et en utilisant le binome de Newton :

5^n = a^2 + 9 \iff 1 + 4n + 16k = 16m^2 + 9 \Longrightarrow 1 + 4 n \equiv 9  [16] \iff 4n = 8  [16]

\Rightarrow \black{n=2+16k,~k\in \mathbb{N}}

si a = 4m + 2 ....

5^n = a^2 + 9 \iff 5^n = 16m^2 + 16m + 13 \Longrightarrow m^2 + m + 3 \equiv 0  [5] \iff (m - 1)(m + 2) \equiv 0  [5]

\Rightarrow {\black{m\equiv 1[5] \text{ou}  m\equiv 3[5]}}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 17:06

Je n'ai fait que survoler le message de 13h26 car je ne pense pas que ce soit finalisé.
On trouve des conditions nécessaires. Mais c'est tout.
Ou quelque chose m'échappe.

Je suis partie dans une autre direction.
Après du modulo 5, du modulo 4, voici du modulo 3
Si a2+ 9 = 5n alors a2+ 9 n'est pas divisible par 3.
Donc a 1 [3]
Et a2 + 9 1 [3]
Or 5 -1 [3] ; donc 5n (-1)n [3].
Conclusion : n est pair.
n = 2k et 52k - a2 = 9.
Ce qui donne (5k - a)(5k + a) = 9.
a est un entier naturel donc 5k + a > 0.
D'où 5k - a > 0.
Un entier strictement positif est supérieur ou égal à 1 ; donc 5k + a 9.
A partir de là, on a un nombre restreint de vérifications à faire.

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 6 15-01-21 à 17:51

bien sûr ...

il faut ensuite finir !!!

Samsco @ 15-01-2021 à 13:26

5^n = a^2 + 9 \Longrightarrow 1 \equiv a^2 + 1  [4] \iff a^2 \equiv 0  [4]

si a = 4m  et en utilisant le binome de Newton :

5^n = a^2 + 9 \iff 1 + 4n + 16k = 16m^2 + 9 \Longrightarrow 1 + 4 n \equiv 9  [16] \iff 4n = 8  [16]

\Rightarrow \black{n=2+16k,~k\in \mathbb{N}}  faux : n = 6 est aussi solution par exemple ...


Sylvieg : oui effectivement ...

dans ce genre d'équation tout le pb est de trouver le bon modulo !!

on peut effectivement remarquer que :

5^n = a^2 + 9 \Longrightarrow (-1)^n \equiv a^2  [3]

or -1 n'est pas un carré modulo 3 donc n est pair : n = 2p

ta méthode me semble la bonne !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 07:52

Oui, mon histoire au début de "pas divisible par 3" n'est pas vraiment utile.
Mais ça a été le déclic pour trouver la suite

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 07:59

Citation :
Si a2+ 9 = 5n alors a2+ 9 n'est pas divisible par 3.


C'est par ce que a²+9 est divisible par 5 qu'il n'est pas divisible par 3 ?

Sinon ,
(5k-a)(5k+a)=1×9

5k-a>0 et 5k+a>0
5k-a < 5k+a

5k-a=1 (1)
5k+a=9 (2)

(1)-(2) => 2a=8 => a=4

5k=1+4=51

donc k=1

On a donc a=4 , n=2


carpediem @ 15-01-2021 à 17:51

\Rightarrow \black{n=2+16k,~k\in \mathbb{N}}  faux : n = 6 est aussi solution par exemple ...


{\black{4n \equiv 8[16] \Rightarrow 4n=8+16k \Rightarrow n=2+4k=2(1+2k)=2K}}

À quoi peuvent nous servir m \equiv 1[5] et m \equiv 3[5] dans la resolution?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 08:17

Citation :
C'est par ce que a²+9 est divisible par 5 qu'il n'est pas divisible par 3 ?

Non.
La raison est que \; 5n \; est la décomposition en facteur premier de \; a2+9 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 08:22

Très bien la suite de (5k-a)(5k+a)=1×9

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 08:35

J'améliore donc la démonstration à l'aide de vos remarques :
Si a2+ 9 = 5n alors a2 (-1)n [3]
Or un carré est congru à 0 ou 1 modulo 3, jamais à -1.
Conclusion : n est pair.
n = 2k et 52k - a2 = 9.
Ce qui donne (5k - a)(5k + a) = 9.
Chacun des deux facteur est un entier qui divise 9.
Le second est positif ; donc le premier aussi.
Les diviseurs entiers naturels de 9 sont 1, 3 et 9.
Seul 1 convient pour le premier facteur, car il est inférieur strict au second facteur.
5k - a = 1 et 5k + a = 9.
D'où a = 4 et k = 1. Puis n = 2.

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 08:46

Sylvieg @ 16-01-2021 à 08:17

Citation :
La raison est que \; 5n \; est la décomposition en facteur premier de \; a2+9 .


Désolé mais je ne comprends toujours pas

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 08:50

Quels sont les diviseurs premiers de 5n ?
Ou si tu préfères : Donne la liste de tous les diviseurs de 5n.

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 08:53

Ce sont 5 et 1.

Donc 5^n n'est pas divisible par 3

Ça veut dire que tout produit de facteurs premiers est premier?

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 09:04

C'est bon ,je crois que j'ai compris ,
les diviseurs premiers de 5^n sont 5 et 1 , vue que 3 est premier et qu'il ne fait pas partie de ces diviseurs , 5^n n'est donc pas divisible par 3.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 09:08

Oui, sauf que 1 n'est pas premier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 09:11

Citation :
Ça veut dire que tout produit de facteurs premiers est premier?
Non, pas vraiment

Ça veut dire que toute puissance d'un nombre premier n'a que ce nombre premier comme diviseur premier.
Autrement dit :
Avec p premier et n entier naturel non nul, l'entier pn a un seul diviseur premier qui est p.

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 09:14

Ok , j'ai compris !

Posté par
Samsco
re : Arithmétique 6 16-01-21 à 15:13

Merci

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