Bonjour, j'ai pu trouver une méthode mais je ne sais pas si elle est correcte ou non. J'ai utilisé le théorème de Fermat :

p premier   quelque soit n

J'ai appliqué ce théorème pour 11 et 5 :
- p=11 :

je lève tout à la puissance 3 puis je multiplie par n^(8)
j'ai trouvé que :  

- pour p=5, c'est plus long :

je lève le tout à la puissance 8, puis je multiplie par n :
là faut que je montre que
Je reviens à et je multiplie par n^(4)
au final, je trouve bien que :

en appliquant le théorème chinois, comme tu l'as dit, on retrouve le résultat.

Bonsoir,
Merci beaucoup de votre réponse je pense que c est bien ce qu il faut faire.
Je vous souhaite de bonnes fêtes de fin d année 😁

C'est juste, mais il existe une méthode plus simple et surtout systématique.
Tout d'abord vous appliquez bien pareil le lemme chinois mais ensuite pour p=11 vous écrivez 41=4*10+1 d'où par petit théorème de Fermat,
et pareil pour p=5 vous écrivez 41=11*(5-1)+1.

Plus généralement vous faites la division euclidienne de l'exposant par le modulo (si il est premier).

Hum c'est vrai qu'il faut ajouter les cas 5 ou 11 divise n (mais dans ces cas le résultat est immédiat), du coup c'est pas beaucoup plus rapide, même si ça a l'avantage d'être systématique.

salut

avec une reccurence sur n cela devrait etre possible , si on considere vraie la proprieté
n⁴¹=n[55]  , alors  

(n+1)⁴¹ = n⁴¹+C(41,k).n^k  k compris entre 0 et 40

par hypothèse n⁴¹=n[55]   et de plus  C(41,k).n^k  = (1 + 41!n/1!40!+....+41!n⁴⁰/40!1!). = (1 + 41!(n/1!40!+....+n⁴⁰/40!1!)). =

or  41! contient  5*11  donc  41! =0[55]    donc tout le terme 41!(n/1!40!+....+n⁴⁰/40!1!) = 0[55]   , et  (1 + 41!(n/1!40!+....+n⁴⁰/40!1!))= 1[55]

alors (n+1)⁴¹ = (n+1)[55]

Bonjour,
@flight, quelque chose m'échappe :
Dans 41!(n/1!40!+....+n⁴⁰/40!1!) , derrière le 41! il y a des fractions.
Par exemple, C(41,40) n'est pas divisible par 55.

salut  sylvieg , mais si 41! =0[55]   une quantité qu'on mutlpliera par 41!  sera toujours congru à 0 modulo 55 ....non ?

41!  contenant les facteurs 11 et 5 est congru  à 0 modulo 55

salut

si on utilise le théorème de Fermat autat l'utiliser avec 41 !!


soit et c'est fini ...

soit   alors   et le théorème de Fermat permet de conclure ...


de toute façon l'énoncé est le théorème de Fermat !!!

Pardon Carpediem, mais on cherche modulo 55, pas 41

flight

Bonjour,
A moins que les dénominations de théorèmes aient changé depuis quelques années, je ne vois pas ce que le théorème chinois vient faire ici.
Dans ce qui suit, je ne fais que reprendre ce qui a déjà été écrit, mais en le reformulant pour faire apparaître l'absence du théorème.

Il s'agit de démontrer que n⁴¹-n est divisible par 55 .
D'après le théorème de Gauss, c'est équivalent à n(n⁴⁰-1) est divisible par 5 et 11 .

Avec 5 :
Si n=0 ou n=1 ou n divisible par 5, alors n(n⁴⁰-1) est divisible par 5 .
Sinon, on peut appliquer Fermat : n⁴ 1 [5] .
Ce qui donne (n⁴)¹⁰ 1 [5] .
D'où n⁴⁰-1 divisible par 5 ; donc n(n⁴⁰-1) divisible par 5 .

Idem avec 11 car 11 - 1 = 10 et 40 = 104 .

salut

soit n est multiple de 55 (donc de 5 et de 11) et ... c'est fini ...

soit n n'est pas multiple de 5 et et le théorème de Fermat permet de conclure

soit n n'est pas multiple de 11 et   et le théorème de Fermat permet de conclure ...

Bonsoir,
@carpediem,
Il y a quelque chose qui me chiffonne dans ta démonstration.

Plus précisément, dans les deux "Fermat permet de conclure".

Je complète le premier avec ma sauce :
soit n n'est pas multiple de 5 et et le théorème de Fermat permet de conclure ... que est un multiple de 5 . Pourquoi multiple de 55 ?

Bonsoir,

Si , alors la généralisation d'Euler du petit théorème de Fermat permet d'écrire que



Sinon, , avec trivial. Reste à étudier les cas où .

Cf. ceci

Bonjour,
Avec un peu de recul, je reviens à la méthode de SalmaEl30 qui évite de séparer les cas.
Il utilise une conséquence immédiate du théorème de Fermat que je précise :

L'entier p étant premier et a étant un entier supérieur ou égal à 2,
on a a^p a [p] .

Par ailleurs, dans l'écriture de l'entier 41 en base 11 puis en base 5 , les sommes des chiffres sont respectivement 11 et 5 .

Avec p=11 , on a n¹¹ n [11] .
En utilisant l'écriture de 41 en base 11 :
n⁴¹ = n^{113 + 8} = (n¹¹)³ n⁸ n³ n⁸ n¹¹ n [11]

Avec p = 5 , on a n⁵ n [5]
L'écriture de 41 en base 5 se traduit par : 41 = 5² + 53 + 1 :
D'où : n⁴¹ = n⁵⁵ (n⁵)³ n n⁵ n³ n n n³ n n⁵ n [5]