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Arithmétique

Posté par
jainabil 26-03-18 à 16:08

Soit n un entier naturel compris entre 1 et 100.
Déterminer les valeurs de n pour que 8n+1 soit un carré parfait.

Posté par
interpolre : Arithmétique 26-03-18 à 16:22

Bonjour,

Peut-être une piste:

1 + (3+5)+(7+9)+(11+13)  . . .
     n= 1    ,     3    ,    


Alain

Posté par
boninmire : Arithmétique 26-03-18 à 16:23

Bonjour,

Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Tu écris les 100 valeurs de 8n+1.
Tu regardes lesquelles sont des carrés parfaits.

Posté par
lakere : Arithmétique 26-03-18 à 16:24

Bonjour,

Vois-tu jainabil, sans préjuger d'une solution élégante et à ta place, j'aurais examiné les 100 cas. D'autant plus qu'un misérable tableur peut répondre à la question.

Posté par
lakere : Arithmétique 26-03-18 à 16:25

Ouh là! Bonjour à tous

Posté par
matheuxmatoure : Arithmétique 26-03-18 à 17:03

bonjour Jainabil

Bonjour les autres

deux petites pistes peut-être qui permettront de trier considérablement :
1 ) un carré parfait ne peut pas se terminer par n'importe quel chiffre
2) on a affaire à des nombres impairs

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 18:46

interpol salut, ça me parait intéressant ce que tu as fait mais je n'ai pas bien compris, peux-tu être un peu plus clair. Merci

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 18:49

boninmi Si c'était aussi simple que ça, je n'aurais pas posé la question.
Enfin simple... les maths c'est trouver des solutions aux problèmes avec la façon la plus simple... Néanmoins, ça reste une proposition vraie et je te remercie.

Posté par
veledare : Arithmétique 26-03-18 à 18:51

bonjour,
>>Jainabil

8n+1=a²=> a impair
donc
2n=\frac{a-1}{2}\frac{a+1}{2}

en posant       x=\frac{a-1}{2}               2n=x(x+1)

donc on cherche les entiers  naturels x tels que    x(x+1) -200  <0

Posté par
larrechre : Arithmétique 26-03-18 à 18:51

Bonjour à tous,

Si 8n+1 est un carré parfait, alors 8n=(k+1)(k-1), k entier. Puis examiner les cas k=2p et k=2p+1.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 26-03-18 à 18:55

jainabil @ 26-03-2018 à 18:49

boninmi Si c'était aussi simple que ça, je n'aurais pas posé la question.
Enfin simple... les maths c'est trouver des solutions aux problèmes avec la façon la plus simple... Néanmoins, ça reste une proposition vraie et je te remercie.
et quel est ton niveau réel ?

car je vois que tu as posé un exercice tout aussi trivial dans le forum lycée !! Arithmétique

Posté par
interpolre : Arithmétique 26-03-18 à 18:57

Bonsoir,

Posons:p<5 ; N=(2p+1)^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1

Et encore:N=4(p^2+p)+1=8n+1;n=\frac{p(p+1)}{2}

Pour p=0 ,n=0 ,N=1
            p=1,n=1 ,N =9
            
           P=4,n=10,N=81

Alain

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 19:33

Bonjour,
boninmi
Je m'excuse. et je suis désolé pour ma réponse un peu sévère...

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 19:40

carpediem
Salut, je m'excuse.
Oui je sais c'était une question triviale... je me suis rendu compte juste après l'avoir postée...Parfois ça arrive, on ne pense même pas à la question et on commence à demander de l'aide... Je suis en terminal, mais parfois je poste sur le forum supérieur parce que je ne trouve pas la case du chapitre arithmétique dans le forum lycée mais ça ne dit absolument rien sur mon niveau...

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 19:40

interpol
Merci beaucoup!

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 19:41

veleda
Merci beaucoup!

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 19:41

Merci tout le monde!

Posté par
interpolre : Arithmétique 26-03-18 à 20:00

Bonsoir,

Nous avons réagi tous en même temps!

Une remarque:
pour  entier naturel les carrés convenables N= 8n+1   correspondent à n  ; sommes successives:
0, 0+1, 0+1+2, 0+1+2+3, 0+1+2+3+4. . . .

Alain

Posté par
boninmire : Arithmétique 26-03-18 à 20:24

jainabil @ 26-03-2018 à 19:33

Bonjour,
boninmi
Je m'excuse. et je suis désolé pour ma réponse un peu sévère...

La mienne l'était un peu aussi ...
Plus sérieusement, il ne faut pas négliger les solutions "bêtes" qui consistent à énumérer tous les cas possibles. Il peut s'agir de solutions fastidieuses, mais elles ont l'avantage de conduire au résultat. Il existe des problèmes très difficiles en mathématiques qui ont été résolus, au moins en partie, par ce type de méthode (voir le théorème des quatre couleurs).

Posté par
jainabilre : Arithmétique 26-03-18 à 21:50

veleda @ 26-03-2018 à 18:51

bonjour,
>>Jainabil

8n+1=a²=> a impair
donc
2n=\frac{a-1}{2}\frac{a+1}{2}

en posant       x=\frac{a-1}{2}               2n=x(x+1)

donc on cherche les entiers  naturels x tels que    x(x+1) -200  <0

Tu n' as pas le droit de diviser par aucun nombre seulement si ce nombre qui divise le numérateur.. Je n' ai pas bien compris et le nombre 200...????

Posté par
veledare : Arithmétique 26-03-18 à 22:45

n<100 donc 2n<200

a est impair donc a-1 et a+1 sont pairs donc x=\frac{a-1}{2}  etx+1= \frac{a+1}{2} sont entiers

ensuite il suffit d'étudier le signe du trinôme x²+x-200

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 26-03-18 à 23:23

Bonsoir à tous
Pour faire simple : le problème initial est finalement de résoudre x^2 = 1 dans \Z/8\Z.
On trouve alors 4 solutions : \bar 1,\bar 3,\bar 5, \bar 7.
Donc seuls 1,9,25, 49,81 sont carrés parfaits entre 1 et 100 de la forme 8k+1.

Mais on peut évidemment les trouver tous avec cette méthode puisque :

Soit a impair.

On peut élargir le problème en montrant que si x^2 \equiv a[2^n] alors a \equiv 1[8].

Puis que si a \equiv 1[8] alors l'équation x^2 \equiv a [8] admet exactement 4 solutions modulo 8.

Posté par
matheuxmatoure : Arithmétique 27-03-18 à 00:28

jsvdb
oui, mais on les veut jusque 801 ... (c'est n qui varie de 0 à 100)

je crois que toutes les réponses résument la situations...

ce sont les (2q+1)² pour q variant de 0 à 13

mm

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 27-03-18 à 01:02

Oui on les a tous puisque si p \in \{0,1,2,3\} alors dans \Z/8\Z, (2p+1)^2=1. Donc \forall p \in \N, (2p+1)^2 = 1[8]

Posté par
flightre : Arithmétique 27-03-18 à 13:16

salut

tres simplement on peut ecrire que  l'on cherche n tel que n=  (X²-1)/8  
en analysant les restes de X modulo 8   restes compris entre 0 et 7
si X=0[8]   alors  X²- 1= -1[8]  et donc  X=0[8] ne convient pas
si X=1[8]   alors  X²- 1=0[8]  et donc  X=1[8] convient
si X=2[8]   alors  X²- 1= 3[8]  et donc  X=0[8] ne convient pas
si X=3[8]   alors  X²- 1= 8[8]  et donc  X=3[8]  convient
si X=4[8]   alors  X²- 1= 7[8]  et donc  X=4[8] ne convient pas
si X=5[8]   alors  X²- 1= 24[8]  et donc  X=5[8] convient
si X=6[8]   alors  X²- 1= 35[8]  et donc  X=6[8] ne convient pas
si X=7[8]   alors  X²- 1= 48[8]  et donc  X=7[8] convient

donc seuls les X sont de la forme  X= 1+2p[8]  avec p compris entre 0 et 3 conviennent

Posté par
flightre : Arithmétique 27-03-18 à 14:38

entre 1 et 100 n peut  donc prendre les valeurs {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91}

Posté par
bbomathsre : Arithmétique 27-03-18 à 15:19

Bonjour.

Si on représente les carrés sous une forme géométrique, on obtient le dessin joint.

Arithmétique

On peut voir que l'expression 8n + 1 est un carré parfait pour les entiers impairs.

Les valeurs de n sont alors : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...,

Un petit calcul permet de trouver les nombre n :

n_i = \frac{i^2 + i}{2} avec i = 0, 1, 2, 3, ...

Posté par
bbomathsre : Arithmétique 27-03-18 à 17:56

Petite remarque...

La séquence 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ..., est composée des nombres triangulaires.

On peut donc dire que tout nombre triangulaire multiplié par 8 et augmenté de 1 donne un carré parfait.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 27-03-18 à 18:02

une autre façon de le dire :

4n^2 + 4n + 1  = ((2n + 1)^2 = k^2 \iff 8\dfrac {n (n + 1)} 2 + 1 = k^2

Posté par
matheuxmatoure : Arithmétique 27-03-18 à 18:06

ben oui... c'est ce que disais !

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 27-03-18 à 18:09

oui ... mois aussi !

Posté par
carpediemre : Arithmétique 27-03-18 à 18:47

mon prof de judo disait toujours : la répétition est force d'apprentissage ...

Posté par
matheuxmatoure : Arithmétique 27-03-18 à 18:49

... mais "persevare diabolicum" parfois !

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 27-03-18 à 18:59

J'suis d'ac ok avec vous deux 😇

Posté par
carpediemre : Arithmétique 27-03-18 à 19:01

donc tu es ni pour ni contre ... bien au contraire ...  

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 27-03-18 à 20:29

bah voilà qui fait avancer le schmilblick ...
digne d'Audiard

Posté par
bbomathsre : Arithmétique 28-03-18 à 08:23

Bonjour.

Si ce qui suit peut être utile...

La méthode utilisée est fondée sur le calcul des différences et se déroule en 3 étapes.

Étape 1/3.

On dresse le tableau suivant (voir la représentation des carrés sous forme graphique) :

\begin{tabular}{|c|*{16}{p{0.30cm}}|} \hline $i$ & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & ...\\ \hline $f(i) = n_i$ & 0 & & 1 & & 3 & & 6 & & 10 & & 15 & & 21 & & 28 & ...\\ \hline $\Delta f(i)$ & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & & ...\\ \hline $\Delta^2 f(i)$ & & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & ...\\ \hline $\Delta^3 f(i)$ & & & & 0 & & 0 & & 0 & & 0 & & 0 & & 0 & & ...\\ \hline \end{tabular}

Avec les lignes :

- L1 : i : indices ;
- L2 : n_i : les termes de la suite ;
- L3 : \Delta f(i) : différences premières donnant l'écart entre deux termes successifs (n_{i+1} - n_i) ;
- L4 : \Delta^2 f(i) : différences secondes donnant l'écart des écarts précédents ;
- L5 : \Delta^3 f(i) : différences troisièmes donnant l'écart des écarts précédents.

On remarque que :

- les $\Delta^3 f(i)$ sont nuls donc on s'est arrêté ;
- les $\Delta^1 f(i)$ s'accroissent d'une unité entre deux termes successifs ;
- les $\Delta^2 f(i)$ sont constants (égaux à 1) et suggèrent une fonction f(i) de la forme :

f(i) = ai^2 + bi + c

Posté par
bbomathsre : Arithmétique 28-03-18 à 08:27

Étape 2/3.

On calcule les expressions des différentes différences en balayant le tableau de \Delta f(i) à \Delta^2 f(i).

On pose :

\Delta f(i) = f(i+1) - f(i)

Alors :

\Delta f(i) = a(i + 1)^2 + b(i + 1) + c - (ai^2 + bi + c)

D'où :

\Delta f(i) = 2ai + (a + b)

Alors :

\Delta^2 f(i) = 2a(i + 1) + (a + b) - (2ai + (a + b))

D'où :

\Delta^2 f(i) = 2a

Étape 3/3.

On calcule les expressions des différentes coefficients en balayant le tableau de \Delta^2 f(i) à \Delta f(i).

Pour a, nous avons donc :

\Delta^2 f(i) = 2a = 1

Alors :

a = \frac{1}{2}

Pour b, nous avons :

\Delta f(i) = 2ai + (a + b) = i + b + \frac{1}{2}

Donc :

\Delta f(0) = b + \frac{1}{2} = 1

Alors :

b = \frac{1}{2}

Pour c, nous avons :

f(i) = \frac{1}{2}i^2 + \frac{1}{2}i + c

Donc :

f(0) = c = 0

La fonction f(i) qui donne le nombre $i$ tel que $8n_i + 1$ soit un carré parfait est donc :

n_i = \frac{i^2 + i}{2}


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