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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
arithmétique
Posté par morgane55
Bonjour, voici l'énoncé :
Résoudre l'équation 26x^(25) 
1[31].
J'aurais besoin d'aide svp je sais pas trop comment résoudre ça, je pense il faut trouver un générateur de 31 d'abord et ensuite je sais pas ..
Merci à vous.
Ensuite tu peux poser t=x5 ce qui va te conduire à chercher t tel que t5=n (31), ce qui est un peu plus simple. Ensuite il faudra passer à x5=t (31). Sauf idée plus simple (y a-t-il du petit théorème de Fermat dans l'air ?).
j'y ai pensé et alors l'idée est de multiplier l'équation de départ par x^5 ... 
mais j'ai proposé du classique dans un premier temps ...
morgane55 @ 26-04-2018 à 11:38
Quand j'ai n= 6 il faut faire quoi ensuite ?
Quand j'ai n= 6 il faut faire quoi ensuite ?
Tu es ramenée (voir plus haut) à t5=6 (31)
On peut examiner toutes les valeurs possibles modulo 31 de t5 pour t allant de 1 à 30. On peut le faire avec un tableur (Excel, OpenOffice, ...) sauf astuce que je ne vois pas. Ensuite il faudra recommencer pour x5=t (31).
L'application du petit théorème de Fermat simplifie un peu. Comme a dit carpediem, on multiplie les deux membres de l'équation par x5 (à justifier). On obtient 26.x30=x5 (31)
Le petit théorème de Fermat donne x30=1 (31)
Il reste à résoudre x5=26 (31).
morgane55 @ 26-04-2018 à 17:30
D'accord merci à vous
D'accord merci à vous
Et tu trouves quoi ? (je n'ai pas fait le calcul ...
)Razes @ 26-04-2018 à 20:38
Bonsoir,
Nous avons :![26x^{25}=1 [31]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?26x^{25}=1 [31])
; multiplions par 6, nous obtenons: ![156x^{25}=6 [31]\leftrightarrow x^{25}=6 [31]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?156x^{25}=6 [31]\leftrightarrow x^{25}=6 [31])
Bonsoir,
Nous avons :
Ça te paraît plus simple que x5
26 [31] ?Bonjour, du coup je vous dit ce que j'ai fait :
3 est un générateur de (Z/31Z)*. Maintenant on cherche c tel que
3^c 26 [31]. On trouve c = 5 donc ceci implique que
3^5 26 [31].
On a donc 3^5 x 3^(25y) 1 [31] 3^0 [31].
On cherche ensuite à résoudre 5 + 25y 0 [30]
5 + 25y = 30u 
25y - 30u = -5.
On voit facilement que (y0,u0) = (1,1) est solution particulière de 25y - 30u = -5.
Et maintenant résoudre 25y - 30u = -5 revient à résoudre -5y+6u = 1.
Soit maintenant (y,u) une solution quelconque de -5y+6u = 1.
Montrons alors que -5/(u-u0) et 6/(y-y0).
On a le système
-5y+6u = 1
-5y0+6u0 = 1, on fait la différence, ça nous donne :
-5(y-y0) + 6(u-u0) = 0 donc
-5(y-y0) = 6(u0-u).
Donc 6/(-5(y-y0)).
Or le pgcd de (-5,6) = 1. D'après le théorème de Gauss, 6/(y-y0).
Il existe donc k dans 
tel que y-y0 = 6k.
Donc finalement,
-5(y-y0) = 6(u0-u) devient :
-5 x 6k = 6(u0 - u) donc
-5k = u0-u.
Donc si (y,u) est une solution de -5y+6u = 1 alors (y,u) = (y0 + 6k ; u0 + 5k) ou k 
.
Les solutions de -5y+6u = 1 sont de la forme (1 + 6k ; 1 + 5k) avec k .
Donc y = 1 + 6k [30].
Et 1 + 6 x 0 = 1
1 + 6 x 1 = 7
1 + 6 x 2 = 13
1 + 6 x 3 = 19
1 + 6 x 4 = 25
1 + 6 x 5 = 1 [30].
Donc il y a 5 solutions pour x.
x 3^1 [31]
x 3^7 [31]
x 3^13 [31]
x 3^19 [31]
x 3^25 [31]
J'espère ne pas avoir fait d'erreur 