Bonsoir,
pour le 1) on a :
et .
On peut additionner ces deux égalités, et je te laisse conclure. . .

(a+b)² = c² + (2d)²

(a+b)² - c² = (2d)²

(a+b-c)(a+b+c) = (2d)²

racine de ((a+b-c)(a+b+c)) = 2d

racine de ((a+b-c)(a+b+c)) / 2 = d

salut



donc (n, n, 0) est solution

si (x, y, z) est solution alors (kx, ky, k^2z) est solution on peut donc se restreindre à pgcd (x, y) = 1

si x et y ont même parité alors z est pair
si x et y n'ont pas même parité alors z est impair

De (a+b)² = c² + (2d)² on tire que c, 2d et a+b sont les côtés d'un triangle rectangle à côtés entiers.

Soit S := { (x,y,z)   *³│ 2xy = z² }

On remarque que si (x,y,z)   S alors , pour tout k *  (kx , ky , kz)   S .
Il suffit donc de trouver T := { (x,y,z)   S │ x y = 1 }
      Soient  (x,y,z) T  et (a , b , c) ) ³   tels que x = 2^aX  , y = 2^bY et z = 2^cZ  ( où  X , Y , Z  sont des entiers impairs ).  
On a donc   1 + a + a =  2c   et  XY = Z² . Comme X Y = 1  on a X = Y = 1 donc aussi   Z = 1  et a + b = 2c - 1 .
Comme x y = 1  on  a :  a.b = 0  donc on a
      1.a = 0 et  b est impair : b = 2B -1 ( où B *) donc c  = B  et   (x , y , z) = (1 ,  2^2B-1 , 2^B)  ou
       2.b = 0 et ....

La réciproque est immédiate .

     Ce n'et pas ça qui correspond aux triangles rectangles " à côtés entiers dont l'aire est le carré d'un nombre entier " .
C'est E := { (x , y , z) *³  │  xy = 2z² } qu'il faut chercher .
Il suffit même de chercher F :=   { (x , y , z) *³  │  xy = 2z²  , xy = 1 , x y}

Ok merci bien à vous

Bonjour,
@etniopal, je ne comprends pas ceci :

Citation :
XY = Z² . Comme X Y = 1 on a X = Y = 1

tu mélanges les variables !!!



1/ si (a, b, c, d)est une solution alors (ka, kb, kc, kd) est solution de même que (b, a, c, d)

2/ on suppose dont pgcd (a, b)=1 et on écrit :



avec p ou q nul et donc x, y,  z impairs et pgcd (x, y) = 1

si on suppose p < q alors on a

...

Merci pour ta réponse, mais quelque chose m'échappe.
Pour ne pas perdre morgane55, si elle nous lit, je précise qu'il s'agit de la question 1).
ab = 2d² ; donc au moins un des deux entiers a ou b est pair.
Si PGCD(a,b) = 1 , l'un est pair et l'autre est impair.
On écrit a = 2^px , b = 2^qy et d = 2^rz avec x, y, z impairs.
Avec p ou q nul, si p < q alors p = 0 et q 1 .
ab = 2d² donne q = 2r+1 .

Je suis à côté de la plaque ?

   Sylvieg
    Il n'y a rien à comprendre , sinon que ce que j'ai raconté est complètement  faux  ( débile  ).


Si je reprends :
     Le fait que x et y soient premiers entre eux entraîne que a.b  = 0  et je  suppose que b = 0  ( car  (x,y,z) est dans T SSI (y,x,z) y est )    .
On  a alors  2^a+1XY = 2^2cZ²  donc a est impair ( a = 2k -1 , k * )  , c = k et  X = u² , Y = v² , Z = 2^ku.v   où u et v  sont  impairs et vérifient u v = 1 .

Bon, finalement, pas de piste pour ces 2 questions ?

Bonjour,

Fermat a démontré qu'il n'existe pas de triangle pythagoricien dont l'aire est un carré.
Sa démonstration utilise la descente infinie: s'il en existait un il en existerait un autre d'aire strictement plus petite.
Voir :

La seconde question se ramène a la première: elle n'a pas de solution non triviale.

Merci jandri

Merci beaucoup à tous !