Bonjour,

d) En déduire un entier relatif k tel que : 123k ≡ 1 [2017] (déjà fait)

certes ... mais qu'as tu trouvé ?
dans cet exo chaque question est la suite de la précédente et utilose le résultat de la question d'avant !!

de toute façon la question 2 est mal recopiée (telle que écrite ici c'est faux)

Bonjour,

Les 2 derniéres questions évoquent la notion << d'inverse modulaire >>.

Seulement est ce que des élèves de TS connaissent cela ?

je trouve k = 82

2-a) Démontrer que pour tout entier relatif x,  123x   456 [2017]   x 456k [2017]

je ne vois pas encore sinon c'est ce qui est sur la feuille de l'exercice.
Y a t'il une erreur ? puisque moi même je n'arrive pas à faire çà

oups, ah non, mal lu, question 2 OK.

le "k" de la question, 2 est celui de la 1d

k étant premier avec 2017 on peut multiplier les deux membres de 123x ≡ 456 par k et cela donne une congruence équivalente.

ah oui j'ai vu Merci mathafou
mais et mon k = 82 c'est juste ?

oui, k = 82

ok mais je n'ai pas compris ça :

si k n'est pas premier avec 2017, il n'y a pas équivalence

a ≡ b [m] ak ≡ bk [m} que que soit k

mais la réciproque est fausse.
or la question demande une équivalence. d'où la précaution oratoire.

l'erreur que javais cru voir dans la question 2 était : x ≡ une valeur purement numérique [2017]
cette valeur numérique n'est pas 456 (faux) mais 456*82 ≡ 1086 [2017]

la "résolution" de la congruence
123x ≡ 456 [2017]
est x ≡ 1086 [2017]

c'est le but de cet exo de résoudre une telle congruence en calculant "l'inverse" de 123 modulo 2017, qui est 82

de façon générale avec des congruences il est extrêmement mal venu (!!) de faire des divisions : on multiplie par l'inverse modulaire

x ≡ 456/123 : non
x ≡ 456*82: oui.
82 étant l'inverse de 123 modulo 2017, c'est à dire le nombre k tel que 123k ≡ 1 [2017]

Après

Citation :
2-a) Démontrer que pour tout entier relatif x, 123x 456 [2017]   x 456k [2017]

il y a 2-b) Déterminer l'ensemble  des entiers relatifs x tels que  123x 456k [2017]
je trouve
Ou bien dois-je remplacer k par sa valeur 82 ?

Et 2-c) Démontrer qu'il existe un unique entier naturel n tel que  :
1 n 2016 et 123x 456[2017]
[bleu]je trouve n=1086

désolé pour les couleur j'avais pas fait ''d'aperçu''

ok merci beaucoup pour votre réponse.
Maintenant je voudrais une vérification pour ce que j'ai fait.

les réponses sont dans mon message précédent

k est 82 et pas "n'importe quoi de Z"

2c : certes ... mais le 1 ≤ n est farfelu, bien que vrai puisque x n'est évidemment pas ≡ 0 !

J'ai lu avec intérêt vos échanges. Peut-être que "pfff" qui a l'air très intéressé par les maths devrait se documenter sur la structure de "Corps".   est un corps pour premier. Les exemples , sont abordables.

le fait de parler de "corps" nécessite en prérequis de savoir ce que sont ces structures algébriques en général (groupes, anneaux, corps)

on peut aussi citer ici le "petit théorème de Fermat " qui affirme que si p est un nombre premier alors a^p ≡ a [p]
on en tire a^(p-1) ≡ 1 [p]
et a * a^p-2 ≡ 1 [p]

ici que 123 * 123²⁰¹⁵ ≡ 1 [2017]

en d'autres termes que k de l'exo ≡ 123²⁰¹⁵ [2017]

même si pour calculer 123²⁰¹⁵ [2017] on connait une méthode rapide,
(19 multiplications modulo 2017 seulement, ≈ 2log₂(2017))
c'est tout de même plus efficace de calculer avec l'algorithme d'Euclide comme dans l'exo (ici en 4 étapes de l'algorithme) !

salut

il n'est pas nécessaire de parler de corps ...

il suffit de connaitre la définition de l'inverse d'un nombre dans R (cours collège) qui ne nécessite absolument pas de parler de division (du moins dans un premier temps)

l'inverse d'un réel x non nul est (l'unique) réel y tel que xy = 1

épictou ...

maintenant pour le calcul effectif de cet inverse on effectue une division (ce que l'on a appris en primaire) : "1 divisé par x" ...

sauf que parfois (voire même souvent !!!) "ça ne tombe pas juste" donc il faut introduire une notation en lien avec x (pour avoir une relation entre un nombre x et son inverse ...

et en collège on apprend que l'inverse de x se note en notation fractionnaire et en notation exponentielle (ie avec des exposants)

maintenant pour en venir à une situation où on travaille modulo un entier n ben rien (ou quasiment) ne change hormis qu'on s'interdit la notation fractionnaire qui n'a pas de sens ... et qu'il n'y a pas "unicité"

donc un inverse de l'entier 123 modulo n = 2017 (ou même n = 8) est un entier m tel que 123m = 1 [n]

et un tel entier est donné grace au théorème de Bezout puisque avec k un entier

et il est évident que si alors

donc ici 82 ou 2099 c'est du kifkif au même ...

Rebonjour mathafou j'ai pas bien compris votre message de 09h06

?? que n'as tu pas compris dans ce message ?

que on s'attend logiquement à 0 ≤ n ≤ 2016
(tous les restes possibles modulo 2017)

ce que dit l'énoncé n'estpas faux (car x ≠ 0 est évident) juste "surprenant".

Ah d'accord
Bon comme vous êtes connectés, terminons l'exercice

         3) Soit a un entier naturel tel que 1 a 2016

a- déterminer ¨PGCD(a;2017) . En déduire qu'il existe une entier m tel que  am 1 [2017]
je trouve PGCD(a;2017) = 1 et l'autre j'ai pu faire

b- Soient b et x  deux entiers tels que 0 x 2016 et axb[2017]. Justifier que x est unique
je n'arrive pas à faire ça

a) PGCD : 2017 n'a aucun autre diviseur que 1 et lui-même

puis application directe de Bézout.

b)
la question doit être comprise comme : x est unique pour chaque b donné, mais différent pour des b différents, bien entendu.

on fait pareil que dans les questions précédentes :
avant c'était a = 123, b =456 et m = 82, ici c'est en littéral mais c'est pareil.

ok et à quel niveau je peux dire ou affirmer que x est unique ?

avec l'unicité du reste dans une division par 2017 ...

comment donc as tu justifié que il n'y avait que un seul n entre 1 et 2016 qui soit ≡ 456*82 [2017] ?
c'est exactement la même chose

Voici comment j'ai fait :

On a : axb[2017] si on mutiplie de par et d'autres par m
on obtiens xbm[2017]

et tu as "trouvé" comment ta valeur à part effectuer le produit de 456 par 82 et de le réduire modulo 2017 ????

quel que soit le nomre entier K il y a un seul seul k entre 0 et 2016 avec k ≡ K [2017] :
le reste de la division de K par 2017

il y a un seul m entre 0 et 2016 avec a*m ≡ 1 [2017]
donc une seule valeur ≡ b*m entre 0 et 2017 : le reste de la division de b*m par 2017

citation incomplète = aucun sens

l'important est ce qui suit cette phrase : LE reste de la division par 2017

Mais on a : xbm[2017] donc c'est b*m le reste

et vous dites

non.
ce que tu dis est faux b*m n'est pas le reste

du coup je me demande VRAIMENT COMMENT
tu avais obtenu ton 1086 !!
on sait que 123*82 ≡ 1 [2017]
donc 123*82 * x ≡ 456 * 82 [2017]
x ≡ 456 * 82 [2017]

456 * 82 egal 37392 n'est pas le reste de la division de 37392 par 2017 !!
c'est 1086 ce reste.

J'ai compris !
Merci

c'est avec votre message  de 01h42 que je compris.
Effectivement j'avais trouvé les 1086 d'une autre manière.

2-c) Démontrer qu'il existe un unique entier naturel n tel que  :
1 n 2016 et 123x 456[2017]

pour prouver l'unicité on procède comme suit :
123*82 ≡ 1 [2017]
donc 123*82 * x ≡ 456 * 82 [2017]
x ≡ 456 * 82 [2017]

456 * 82 égal 37392 n'est pas le reste de la division de 37392 par 2017
c'est 1086 ce reste.
mais qu'est ce qui caractérise l'unicité de n=1086 ?

parce que c'est LE reste de la division.

par définition il existe un q unique et un r unique tels que
37392 = 2017q + r avec 0 r < 2017

ne pas confondre

7 19 mod 3 qui est une relation entre 7 et 19

et 19 mod 3 = 1 (sur une calculette avec la touche MOD) qui est une opération consistant selon la notice même de la calculette à ...
calculer le reste de la division !

Ah je vois.
Merci