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Arithmétique

Posté par
barka54
09-04-21 à 06:04

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour cet exercice :

a et b sont deux entiers naturels non nuls; E désigne l'ensemble des entiers relatifs z tels qu'ils existe x et y vérifiant z=ax+by.
1) Démontrer que E contient au moins deux entiers naturels non nuls.
2)On note d le plus petit entier naturel de E.
a) Démontrer que tout multiple de d appartient à E.
b) Démontrer que tout élément z de E est un multiple de d( On pourra envisager la division euclidienne de z par d).
c) En déduire que E est l'ensemble des multiples de d.
3) Démontrer que d est le plus grand commun diviseur de a et b.
4) Application numérique:
Démontrer que l'ensemble des entiers relatifs z de la forme z=9801x + 11664y est égal à l'ensemble des multiples de 81.




Je bloque toujours sur la première question où on demande de montrer que E contient au moins deux entiers naturels non nuls.
z=ax + by : je pense qu'il s'agit d'une équation diophantienne et cette dernière admet des solutions (x;y) lorsque z divise a et b à la fois. Soit pour tout k et k' éléments de Z:
z=ak , z=bk' , mais est ce que je peux conclure à partir de ces deux expressions  de z (?)

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 09-04-21 à 08:13

salut

a = 1 * a + 0 * b
b = 0 * a + 1 * b

...

Posté par
barka54
re : Arithmétique 09-04-21 à 14:24

ok je vois donc E contient au moins a et b.

2.a) si t est le plus petit element de E, ses multiples sont k*t avec k un entier relatif.
on a : t=ax+by <=> t*k=a(kx)+b(ky)
Donc t*k appartient à E.

Posté par
barka54
re : Arithmétique 09-04-21 à 18:19

Pour la question 2.b, voici ce que je trouve:
D'après 2.a les multiples de d appartiennent à E ie t*d=ax+by or d est le plus petit élément de E donc les autres valeurs de z sont ses multiples.
2.c) D'après 2.b les éléments de E s'écrivent de la forme z=d*t. Donc
E regroupe les multiples de d.

3.
d est la plus petite valeur de z pour lesquelles x et y vérifient : d=ax+by...Donc il existe au moins un couple (x;y) solution de cette équation. De la définition de l'équation diophantienne, cela n'est possible que si d est le pgcd de a et b.
4.
Par décomposition,  11664=144*81
et 9801=121*81
l'équation z=9801x+9801y devient
z=81*121x+81*144y
z=81(121x+144y) en posant 121x+144y=K ,
<=>z=81K donc z est l'ensemble des multiples de 81.

Posté par
matheuxmatou
re : Arithmétique 09-04-21 à 18:24

je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé :

Citation :
2)On note d le plus petit entier naturel de E.


c'est 0

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 09-04-21 à 18:58

oui effectivement !!


barka54 @ 09-04-2021 à 14:24

ok je vois donc E contient au moins a et b.

2.a) si t est le plus petit element de E, ses multiples sont k*t avec k un entier relatif.
on a : t=ax+by <=> t*k=a(kx)+b(ky)
Donc t*k appartient à E.
pourquoi noter t le plus petit élément (non nul) alors que l'énoncé le note d ?

et ce n'est pas un "si" puisque c'est un fait (une notation de l'énoncé)

en particulier ta démonstration est valable pour tout élément de E :

pour tout z dans E : z = xa + yb donc kz = (kx)a + (ky)b

donc ce qui est vrai pour tout élément de E l'est aussi pour son minimum (nul ou pas !!!)

et en général quand on fait de l'arithmétique (et plus généralement quand on travaille avec des variables entières) on utilise conventionnellement les lettres m , n, k, i et j (pour les sommations par exemple), p et q, r (pour le reste)

Posté par
azerti75
re : Arithmétique 09-04-21 à 19:04

Bonsoir,

matheuxmatou @ 09-04-2021 à 18:24

je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé :

Citation :
2)On note d le plus petit entier naturel de E.


c'est 0


Décidément, Barka est le spécialiste des énoncés erronés

Posté par
barka54
re : Arithmétique 09-04-21 à 19:07

azerti75 @ 09-04-2021 à 19:04

Bonsoir,

matheuxmatou @ 09-04-2021 à 18:24

je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé :

Citation :
2)On note d le plus petit entier naturel de E.


c'est 0


Décidément, Barka est le spécialiste des énoncés erronés
azerti75 @ 09-04-2021 à 19:04

Bonsoir,

matheuxmatou @ 09-04-2021 à 18:24

je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé :

Citation :
2)On note d le plus petit entier naturel de E.


c'est 0


Décidément, Barka est le spécialiste des énoncés erronés
azerti75 @ 09-04-2021 à 19:04

Bonsoir,

matheuxmatou @ 09-04-2021 à 18:24

je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé :

Citation :
2)On note d le plus petit entier naturel de E.


c'est 0


Décidément, Barka est le spécialiste des énoncés erronés
azerti75 @ 09-04-2021 à 19:04

Bonsoir,

matheuxmatou @ 09-04-2021 à 18:24

je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé :

Citation :
2)On note d le plus petit entier naturel de E.


c'est 0


Décidément, Barka est le spécialiste des énoncés erronés


Peut-etre c'est parcequ'ils sont erronés que je me bloque

Posté par
barka54
re : Arithmétique 09-04-21 à 19:08

carpediem @ 09-04-2021 à 18:58

oui effectivement !!


barka54 @ 09-04-2021 à 14:24

ok je vois donc E contient au moins a et b.

2.a) si t est le plus petit element de E, ses multiples sont k*t avec k un entier relatif.
on a : t=ax+by <=> t*k=a(kx)+b(ky)
Donc t*k appartient à E.
pourquoi noter t le plus petit élément (non nul) alors que l'énoncé le note d ?

et ce n'est pas un "si" puisque c'est un fait (une notation de l'énoncé)

en particulier ta démonstration est valable pour tout élément de E :

pour tout z dans E : z = xa + yb donc kz = (kx)a + (ky)b

donc ce qui est vrai pour tout élément de E l'est aussi pour son minimum (nul ou pas !!!)

et en général quand on fait de l'arithmétique (et plus généralement quand on travaille avec des variables entières) on utilise conventionnellement les lettres m , n, k, i et j (pour les sommations par exemple), p et q, r (pour le reste)

D'accord bien noté



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