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Arithmétique

Posté par
kikoking41
25-03-23 à 20:00

Bonsoir
On nous donne F l'ensemble des entiers de 1 à 52.
1) Montrer que pour tout entier p de F il existe un unique q de F tel que pq congru à 1 mod 53.
2) Déterminer tous les entiers p de F tel que
P^2congru à 1 mod 53.
3)Montrer que 52!congru à -1 mod53.
Pour 1) je montre l'unicité mais je ne trouve pas comment montrer l'existence.
Pour 2) p=1 ou p=52
Pour3) pour p entre 2 et 51 il existe un unique q different de p tel que pqcongru à 1 mod 53
Donc 51!congru à  1 mod 53 et en multipliant par 52 des deux côtés  on trouve le résultat. Mais comment faire une bonne rédaction ?
Merci de vouloir me donner votre avis.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 25-03-23 à 20:54

Bonsoir,
Pour 1), as-tu pensé à Bezout ?
Une fois trouvé q' tel que pq' 1 [53], on peut en déduire q avec une division euclidienne bien choisie.

Posté par
kikoking41
re : Arithmétique 25-03-23 à 22:57

Pour tout p dans F on a p premier avec 53 donc d'après Bezout il existe q' et v tel que pq'+53v=1
Et pour 3) quelle est la bonne rédaction

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-03-23 à 08:53

1) n'est pas terminé.

Pour 3), ceci n'est pas démontré :

Citation :
51!congru à 1 mod 53

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-03-23 à 08:59

Le résultat de 2) non plus n'est pas démontré.

Posté par
kikoking41
re : Arithmétique 26-03-23 à 12:03

Pour 1) q'congru à q mod 53 avec q dans F donc pq'congru à pq congru à  1 mod 53
Pour 2) p^2congru à 1 mod 53 donc p^2-1congru à  0 donc 53 divise (p-1)(p+1) et comme 53 premier alors p congru 1 ou -1 mod 53 donc p= 1ou=52
Pour 3) tout entier de 2 à 51 admet un unique inverse mod 53 différent de lui même  d'apres 2)
Donc 2×3×4×...×51 qui est en fait 51! Est congru à 1 mod 53 et en multipliant par 52 des deux côtés on trouve 52! Congru à 52 qui est congru à-1 mod 53

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-03-23 à 14:24

Il faut expliciter un peu et même beaucoup par endroit.

" q'congru à q mod 53 avec q dans F " : D'où sort ce q ? Pourquoi est-il dans F ?
Et ne pas oublier de justifier l'unicité.

Pour 2), ne pas faire une phrase mais plusieurs.
Et ceci est faux : "53 divise (p-1)(p+1)".

Dans 3), parler de couples peut-être ?

Posté par
kikoking41
re : Arithmétique 26-03-23 à 17:13

1) Bezout donne pq'+53v=1 donc pq'=1-53v donc pq'congru 1 mod 53 avec q'  dans Z or chaque q' dans Z admet un unique reste dans la division euclidienne par 53 qu'on appellera q alors q'congru a q mod 53 avec q dans F
Pour l'unicité on suppose qu'il existe un autre q' dans F qui vérifie les mêmes conditions alors pq-pq' congru à 0 mod 53 donc p(q-q')congue à 0 mod 53 or 53 premier avec p alors d'après gauss 53 divise q-q'  (on suppose q q' strictement) donc q-q'=0 d'où q=q'
Pour 2) p^2-1=(p-1)(p+1) congrue à 0 mod 53 donc 53 divise (p-1)(p+1)
Je ne sais pas ou est le problème.

Posté par
flight
re : Arithmétique 26-03-23 à 17:47

salut
dans  "53 divise (p-1)(p+1)"     53 ne divise pas forcement tout le produit mais peut etre p-1 seulement ou p+1 seulement

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-03-23 à 18:27

Tu as raison kikoking41, il n'y avait pas de problème avec "53 divise (p-1)(p+1)".
Il me semble que ceci devrait être un peu plus détaillé :
" 53 divise q-q' (on suppose q q' strictement) donc q-q'=0 d'où q=q' "

@flight,
Oui 53 divise un des facteurs. Si 53 divise p-1, alors p est congru à 1 modulo 53 ; sinon p est congru à -1 modulo 53.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-03-23 à 18:28

53 divise au moins un des facteurs

Posté par
kikoking41
re : Arithmétique 26-03-23 à 20:47

53 ne peut pas diviser p-1 et p+1 en même temps car sinon 53 divise le pgcd(p-1;p+1) qui est 1 ou 2
Ce qui est absurde.
Donc 53 divise l'un des facteurs forcément.

Posté par
kikoking41
re : Arithmétique 26-03-23 à 20:54

salut flight
dans  "53 divise (p-1)(p+1)"     53 ne divise pas forcement tout le produit mais peut etre p-1 seulement ou p+1 seulement
J'ai pas compris
Si 53 divise l'un des facteur c'est évident que 53 divise le produit

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-03-23 à 20:57

Oui, inutile de parler de pgcd :
Si 53 divise deux entiers alors il divise leur différence.

Je pense que tu utilises plusieurs fois, mais sans le dire, que tous les élément de F sont premiers avec 53.
Il serait peut-être judicieux de l'énoncer en le justifiant à un moment ou un autre.

Posté par
kikoking41
re : Arithmétique 26-03-23 à 21:10

Oui c'est vrai 53 lui même est premier donc il est premier avec tous les entiers avant lui .
Donc il est premier avec tout entier de F.



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