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Arithmétique

Posté par
djaraf 16-03-24 à 22:00

Bonjour  
Soit p un nombre premier supérieur  où égal à 3
Montrer que  7p-6p-1 est divisible par 43

Posté par
carpediemre : Arithmétique 16-03-24 à 22:19

salut

c'est faux pour p = 3 ...

Posté par
flightre : Arithmétique 17-03-24 à 00:10

salut

cette expression est vraie pour p5

Posté par
djarafre : Arithmétique 17-03-24 à 01:09

Effectivement c'est 5 au lieu de 3

Posté par
lakere : Arithmétique 17-03-24 à 01:26

Bonsoir,
La division euclidienne de p par 3 avec les restes possibles et la parité des quotients associés permet d'aboutir compte tenu que : 7^3\equiv -1\,\,[43] et 6^3\equiv 1\,\,[43]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 17-03-24 à 06:18

Bonjour,
C'est faux pour p = 10 par exemple...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 17-03-24 à 06:37

Mais "p premier"...
En fait, p premier avec 6 suffit.

Posté par
djarafre : Arithmétique 17-03-24 à 13:50

Bonjour
10 n'est pas premier
Merci de votre remarque "p premier avec 6 suffit "
Je vais également utiliser l'indication de Lake pour proposer une solution
Merci  à vous tous

Posté par
djarafre : Arithmétique 17-03-24 à 14:25

J'ai une solution avec l'indication de Lake
Pour la remarque de Sylvieg pas encore de solution j'ai démarré avec Benoît puis blocage

Posté par
lakere : Arithmétique 17-03-24 à 14:48

Bonjour,
Avec l'indication on trouve rapidement que p doit être de la forme 6k+1 ou 6k-1 pour que la propriété soit vérifiée.

Posté par
PLSVUre : Arithmétique 17-03-24 à 14:49

Bonjour
7^{10}-6^{10}-1 \equiv 29  [43]
7^p-6^p -1\equiv 0  [43]
si p=5+6k      ou  si p=7+6k
ces p sont impairs premiers ou non premiers
exemples 35=5+5*6   25=7+6*3

Posté par
flightre : Arithmétique 18-03-24 à 00:13

Bonjour , une idée en passant , ..en ecrivant

7p-6p - 1 - 43k=0
soit  7p-6p - 1 - 7k-36k=0
soit 7p-7k - 6p - 36k=1
soit 7(7p-1 -k) + 6(-6p-1-6k)=1
avec p-1 pair ,  ne peut on pas utiliser le théoreme de bezout ?

Posté par
flightre : Arithmétique 18-03-24 à 00:18

... pour conclure plutot que de rechercher p ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 18-03-24 à 08:06

@djaraf

lake @ 17-03-2024 à 14:48

Bonjour,
Avec l'indication on trouve rapidement que p doit être de la forme 6k+1 ou 6k-1 pour que la propriété soit vérifiée.
Si p est de la forme 6k+1 ou 6k-1 alors p est premier avec 6.
Si p n'est pas de la forme 6k+1 ou 6k-1 alors p n'est pas premier avec 6.

Posté par
lakere : Arithmétique 18-03-24 à 14:25

Bonjour,

Citation :
... j'ai démarré avec Benoît puis blocage

J'ai enfin fini par comprendre qui était ce mystérieux Benoît

Posté par
carpediemre : Arithmétique 18-03-24 à 19:19

7^p - 6^p - 1 = (6 + 1)^p - 6^p - 1 = \sum_1^{p - 1} {p \choose k} 6^k  est multiple de 6

7^p - 6^p - 1 = 7^p - 1 - (7 - 1)^p = - \sum_1^{p - 1} {p \choose k} 7^k(-1)^{p - k} est multiple de 7

or 6 et 7 sont premiers entre eux donc 7^p - 6^p - 1 est multiple de 42

je subodore une erreur d'énoncé : c'est 42 au lieu de 43

car 43 me semble compliqué en terminale ...

enfin un test sur tableur permet de se guider vers la solution ... donnée par lake

donc si p = 6k \pm 1 alors 7^p - 6^p - 1 est multiple de 42 et 43 !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 18-03-24 à 20:57

Bonsoir,
Démontrer que 7p-6p-1 est divisible par 7 quand p est impair se fait très simplement avec des congruences modulo 7.
Idem avec 6 pour p quelconque.

Je pense que l'énoncé est avec 43.

Posté par
djarafre : Arithmétique 19-03-24 à 16:38

Bonjour
Effectivement Sylvieg l'énoncé c'est bien avec 43

Posté par
djarafre : Arithmétique 19-03-24 à 16:46

Avec la remarque de Lake on a  p=3k+1 ou p= 3k+2
Si  p=3k+1 alors k est pair car p est impair
Si  p=3k+2 alors k est impair car p est impair
Et on aboutit avec les congruences modulo 43

Posté par
lakere : Arithmétique 19-03-24 à 18:36

Bonjour djaraf,
Tout à fait et quand tu en es là, il n'y a plus qu'un petit pas à faire (soigner la rédaction) pour parvenir à ce qu'à écrit Sylvieg :

Citation :
En fait, p premier avec 6 suffit.


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