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Arithmetique dans Z (4)
Posté par Amarouche1
Bonjours,
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Etablir que :
1) PGCD( (3a + 4b) , (4a+5b) )=1
2) PGCD( (4a+15b) , (3a+11b) )=1
3) PGCD( (a+2b+ , (2a+b) )=1 ou PGCD( (a+2b) , (2a+b) )=3
Alors pour 1) et 2) en utilisant l'algorithme d'euclide on a :
PGCD( (3a + 4b) , (4a+5b) )=PGCD(a , b)
PGCD( (4a+15b) , (3a+11b) )= PGCD(a , b)
Puis je bloque ...
Bonjour,
Il manque quelque chose dans l'énoncé.
Si a = b = 2, les pgcd dans 1) et 2) ne sont pas égaux à 1.
Ah oui merci c'est la meme contradiction que j'ai trouve donc il manque peut etre le donne PGCD(a, b)=1
salut
i n'est pas nécessaire d'utiliser l'algorithme d'Euclide pour montrer que :
PGCD( (3a + 4b) , (4a+5b) )=PGCD(a , b)
PGCD( (4a+15b) , (3a+11b) )= PGCD(a , b)
mais simplement la propriété fondamentale de l'arithmétique : si d divise m et n alors d divise toute combinaison linéaire de m et n
et cette propriété suffit pour montrer 3/ ...
Sylvieg @ 01-05-2021 à 11:50
Pour 3), la donnée
PGCD(a, b)=1 me semble nécessaire.
Ou quelque chose du même genre.
Pour 3), la donnée
Ou quelque chose du même genre.
On pose d=pgcd((a+2b),(2a+b))
d/a+2b et d/2a+b => d/3(a+b) Or : pgcd(d, a+b)=pgcd(a,b)
Donc pour avoir il est necessaire que PGCD(a, b)=1 pour avoir d/3 et onc d=1 ou d=3