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Arithmetique dans Z

Posté par
Amarouche1 25-04-21 à 19:40

Bonjour,
Soit p un nombre premiere positif : Mq : si a^p\equiv b^p [p] alors a^p\equiv b^p [p^2] j'ai utilise theoreme de Fermat alors j'obtiens: a\equiv b [p] d'ou : (a^p-b^p)(a-b)\equiv 0[p^2] et je bloque ici ...

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 25-04-21 à 20:02

salut

un classique qui ne nécessite nullement le théorème de Fermat et je ne comprends pas ta conclusion...

ok on a a \equiv b  [p] et donc pour tout k : a^k \equiv b^k  [p]

a^p - b^p = (a - b)\sum_0^{p - 1} a^kb^{p - 1 - k} \equiv ...

Posté par
Amarouche1re : Arithmetique dans Z 25-04-21 à 23:41

Je dois montrer que p^2
divise a^p-b^p ... alors pour expliquer ma conclusion :
on a p divise a^p-b^p
d'apres theoreme de Fermat : a^p\equiv a[p] et b^p\equiv b[p] donc a\equiv b[p] donc p divisea-b puis pour faire apparaitre le p^2 on a :p^2 / (a^p-b^p)(a-b) ...

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 25-04-21 à 23:49

Amarouche1 @ 25-04-2021 à 23:41

Je dois montrer que p^2
divise a^p-b^p
p^2 / (a^p-b^p)(a-b) certes !! mais sans intérêt !!!


carpediem @ 25-04-2021 à 20:02

ok on a a \equiv b  [p] et donc pour tout k : a^k \equiv b^k  [p]

a^p - b^p = (a - b)\sum_0^{p - 1} a^kb^{p - 1 - k} \equiv ...
a - b est multiple de p : ok

montre que la somme est aussi multiple de p ...

Posté par
Amarouche1re : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 13:01

pour montrer que p devise la somme, est ce-qu'il suffit de montrer que p divise a , b et ab ?

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 13:09

tu as toute les informations nécessaires et suffisantes dans

carpediem @ 25-04-2021 à 20:02

ok on a a \equiv b  [p] et donc pour tout k : a^k \equiv b^k  [p]

a^p - b^p = (a - b)\sum_0^{p - 1} a^kb^{p - 1 - k} \equiv ...
indice : combien de termes possède la somme ?

Posté par
Amarouche1re : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 13:17

la somme possede p terme ...

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 13:20

ok et alors ? qu'est-ce qui serait intéressant ?

Posté par
Amarouche1re : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 13:30

si p divise une somme de p terme ... je ne peux conclure sauf si cette somme s'ecrit \sum_{0}^{p-1}{k} alors p le divise ...

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 13:50

ben alors qu'attends-tu ?

carpediem @ 25-04-2021 à 20:02

ok on a a \equiv b  [p] et donc pour tout k : \red a^k \equiv b^k  [p]

a^p - b^p = (a - b)\sum_0^{p - 1} a^kb^{p - 1 - k} \equiv ...

Posté par
Amarouche1re : Arithmetique dans Z 27-04-21 à 20:02

On a : a^k\equiv b^k[p] \Rightarrow a^{k}b^{p-1-k}\equiv b^{p-1}[p]
\Rightarrow \sum_{0}^{p-1}{}a^{k}b^{p-1-k}\equiv b^{p-1}\sum_{0}^{p-1}{1}[p] (je doute si j'en ai le droit )
\Rightarrow \sum_{0}^{p-1}{}a^{k}b^{p-1-k}\equiv p b^{p-1}[p] \Rightarrow \sum_{0}^{p-1}{}a^{k}b^{p-1-k}\equiv0[p]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmetique dans Z 28-04-21 à 17:36

Bonjour,
@Amarouche1,
Qu'est-ce qui te fais douter ?

@carpediem,
Peux-tu donner un indice pour démontrer sans utiliser Fermat ?

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 28-04-21 à 18:09

en fait on a besoin de Fermat uniquement pour arriver à a = b  [p] (c'est le seul supplément artificiel apporté à l'exercice en partant de a^p = b^p [p])  (*)

mais le pb peut se généraliser ainsi pour tout n :

soit a \equiv b  [n]
montrer que a^n - b^n \equiv 0  [n^2]

(*) je pense qu'il est même suffisant que a et b soient premiers avec p avec toujours la condition a^p = b^p  [p] pour arriver à a = b [p]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmetique dans Z 28-04-21 à 19:24

Pour (*) : \; 56 76 \; [6] \; ; mais 5 et 7 ne sont pas très congrus modulo 6.

Posté par
carpediemre : Arithmetique dans Z 28-04-21 à 20:19

ok !!

donc on en a bien besoin pour arriver à a = b [n] ...

mais après on ne s'en sert plus ...

merci


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