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Arithmétique dans Z

Posté par
yassineben200 13-05-21 à 12:05

bonjour, j'éspère que vous allez bien. comment peut on répondre à cette question?
on a montré dans la question d'avant que:

(a*) : x^{10}-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1)

et on cherche à présent à montrer que:

(x*) : (a\equiv 1[10]) \Rightarrow (a^{10}\equiv 1[10^2])

Posté par
lakere : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 12:26

Bonjour,

Ta première égalité est fausse.

Posté par
yassineben200re : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 12:37

faute de frappe
c'est plutot:
x^{10}-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1)(x^5+1)

Posté par
lakere : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 12:46

Si a\equiv 1\;\;[10], alors :

a^4+a^3+a^2+a+1\equiv 5\;\;[10] et a^5+1\equiv 2\;\;[10]

en sorte que (a^4+a^3+a^2+a+1)(a^5+1)\equiv 0\;\;[10]

... et 10 divise aussi a-1

Posté par
yassineben200re : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 13:21

(a^4+a^3+a^2+a+1)(a^5+1)\equiv 0\;\;[10] alors (kZ) tq (a^4+a^3+a^2+a+1)(a^5+1)=10k
a\equiv 1\;\;[10] alors k' tq: a-1=10k'
d'ou x^{10}-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a^2+a+1)(a^5+1)=100kk' d'ou le résultat.. mais y'a t'il pas un autre moyen de le faire directement en utilisant les congruences?

Posté par
lakere : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 13:24

Il n'est tout de même pas difficile d'écrire:

Si 10 divise A et 10 divise B, alors 100 divise AB.

Si ?

Posté par
yassineben200re : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 13:34

ah oui c'est vrai..
donc en générale a0[n] et b0[n] donc ab0[n2]

Posté par
lakere : Arithmétique dans Z 13-05-21 à 13:36

Oui bien sûr.

Posté par
yassineben200re : Arithmétique dans Z 14-05-21 à 14:01

merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : Arithmétique dans Z 14-05-21 à 16:10

salut

il n'est même pas besoin de factoriser plus loin que l'identité remarquable a^n - b^n

a^{10} - 1 = (a - 1) \sum_0^9 a^k

si a \equiv 1  [10] alors il suffit de montrer que la somme est congrue à 0 modulo 10 ... ce qui est élémentaire ...

et d'appliquer la propriété rappelée par lake à 13h24 ...



pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...

Posté par
yassineben200re : Arithmétique dans Z 14-05-21 à 21:21

comment montrer que la somme est congru à 0 modulo 10 ?

Posté par
lakere : Arithmétique dans Z 14-05-21 à 22:24

Bonsoir,

Tout de même, dans la somme, il y a 10 termes tous congrus à 1 modulo10.


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