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Arithmetique dans Z bis
Posté par Amarouche1
Bonjour,
Soit (a,b) on suppose que les nombres a, a+b et a+2b sont premiers .
1)Montrer que b est pair
2)Montrer que si a>3 alors 3 divise b
3)Donner trois exemples dans lesquels les entiers a, a+b et a+2b sont des nombres premiers
pour 1) :
On a : (car a premier) et b
donc a+b
or a+b premier donc a+b est impair . Maintenant si
or a premier alors a impair et b sera dans ce cas pair . Mais ... si a=2 alors b impair (contradiction a ce qui est demande !!)
Bonjour,
Dans 2), si a = 3 et b = 2 alors b n'est pas divisible par 3.
D'où la condition a supérieur à 3 dans l'énoncé.
Pour 2) On peut travailler par l'absurde on suppose 3 ne divise pas b CAD : ou
en faisant une disjonction des cas sur a ( de meme
ou
ou
) puis on peut faire apparaitre a+b et a+2b en exploitant le fait que a>3 on va trouver des contradictions dans tous les cas ... d'ou 3 divise b
D'accord.
Une propriété qui permet de réduire les cas à étudier :
Si un entier n
n'est pas divisible par
3 , alors
n
1 [3] .
a > 3 et a premier ; donc
a
n'est pas divisible par 3.
En supposant b aussi non divisible par 3, on a à priori 4 cas à étudier :
a 1 [3]
et
b
1 [3] .
Mais on peut les réduire à 2 cas, avec
= 1 :
a [3]
et
b
[3] .
a [3]
et
b
- [3] .
Dans le premier cas, a+2b
0 [3] .
Dans le second cas, a+b
0 [3] .
Bonne lecture 