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arithmetique divisibilité

Posté par
aya4545 07-04-22 à 22:29

bonsoir
priere m aider a faire cet exercice

n\in \N^* on considere dans \Z/n\Z   l equation x²=0
1)resoudre l equation precedante si n est premier
2) soit p premier  et x entier relatif montrer que pour tout m entier naturel p^m|x  \iff p^{2m} |x²
3) montrer que pour tout m entier naturel p^{m+1}|x  \iff p^{2m+1} |x²
j ait fait la premiere question et la directe de la seconde et merci

Posté par
carpediemre : arithmetique divisibilité 08-04-22 à 18:58

salut

1/ il serait bien de nous donner la réponse ....

2/ réciproque

p2m divise x2 \Longrightarrow x^2 = kp^{2m} \iff k = \dfrac {x^2}{p^{2m}} = \left( \dfrac x {p^m} \right)^2

donc k est un carré et donc k = q^2 ...

sinon la décomposition de x^2 en facteur premier montre aussi que k est un carré ...

Posté par
aya4545re : arithmetique divisibilité 08-04-22 à 22:36

bonsoir
1) x² congru 0 (n) donc n divise x² et n premier donc n divise
x  =\overline 0
2) direct p^m |x    et     p^m |x    \implies  (p^m)^2=p^{2m}|x²
reciproque  (p^m)^2|x² \implies (p^m)^2\wedge x² =(p^m)^2 =(p^m \wedge x)^2 donc p^m\wedge x=p^m \implies p^m |x
je bloque toujours dans la 3)question et merci carpediem

Posté par
carpediemre : arithmetique divisibilité 09-04-22 à 12:41

3/ le sens direct est évident :

si p^{m + 1} divise x alors p^{2m + 2} divise x^2 or p^{2m + 1} divise p^{2m + 2}

réciproque : appliquer 2 avec m = 1 ...

Posté par
carpediemre : arithmetique divisibilité 09-04-22 à 13:40

plus précisément : si p est premier et divise x^2 alors p^2 divise x^2 ...

Posté par
aya4545re : arithmetique divisibilité 09-04-22 à 18:54

merci carpediem

Posté par
carpediemre : arithmetique divisibilité 09-04-22 à 19:23

de rien


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