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arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome

Posté par
sergeslah
29-09-20 à 10:46

Bonjour à tous toutes,

Voilà, je bute sur une question :
On a un trinome qui a deux racines réelles (c'est dans l'énoncé).
fait : On doit démontrer que le produit des racines est c/a. fait.

La question sur laquelle je bute est :
En déduire (de x1x2=c/a) que si x1 est une racine entière alors x1|c
J'ai commencé par dire que si x1|c, alors il existe un entier k tel que c=kx1
x1x2=c/a
x1=c/(ax2)
donc c/(ax2)=c/k
ax2 = k

a est donné entier diff de 0, comment faire pour affirmer que k est entier parce que je ne sais rien sur x2 ?
Est-ce que c'est la bonne voie ?

Merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 10:57

Bonjour

pour prouver une propriété P on ne commence jamais par

"si P est vraie , alors .."

ça ne conduit à rien du tout d'un point de vue logique

l'hypothèse de départ est "x1x2 =c/a, x1 entier, c et a entiers , a non nul"
et la conclusion à obtenir est "x1 divise c"

cela se fait par des implications dans ce sens là :

si x1x2 =c/a (et a ≠ 0) alors ax1x2 = c
donc etc ...

pas à l'envers.

Posté par
sergeslah
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 11:19

Merci mathafou

Je remets dans le bon sens

x1x2=c/a
ax1x2=c

a est entier non nul, x1 est entier, c est entier donc x2 est entier (doute la dessus ????)
Si il existe un entier k non nul tel que kx1=c alors x1|c.
Il suffit de choisir k=ax1 (produit de deux entiers)

C'est bon la ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 11:50

cela pêche dans "donc x2 est entier

ça n'a aucune raison d'être vrai

en fait il manque quelque chose dans l'énoncé qui doit absolument être recopié mot à mot en entier et pas "suggéré"

contre exemple :

2x² -11/2 x + 3 = 0
2 est bien racine de ce polynome (2*4 -11+3 = 0)
et pourtant 2 ne divise pas 3 !

en fait l'hypothèse "x1x2 =c/a, x1 entier" ne suffit absolument pas pour pouvoir conclure qe x1 divise c
tout dépend de la valeur de b !
qui n'intervient pas du tout dans cette hypothèse là.

le mieux ici est d'ignorer complètement ce "en déduire" qui ne rime absolument à rien parce que c'est faux (voir le contre exemple)
mais de partir directement de

"x1 est solution de ax² + bx+c = 0, et x1 entier"

c'est à dire que ax1² + bx1+c = 0, x1 entier
et des vraies hypothèses de départ du vrai énoncé à propos des coefficients a, b et c

indice : isoler c et factoriser le reste

Posté par
sergeslah
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 12:27

c'est vrai j'ai des doutes mais on me dit que c'est un trinome à coef entier a, b et c sont entiers... C'est pas ça qui manque ?
Merci encore...

Posté par
mathafou Moderateur
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 12:45

si, ça manquait (que a,b,c sont tous trois entiers n'était pas écrit explicitement ici)

quant à la formulation de la question, je répète que "en déduire (de x1x2 = c/a)" elle est fausse
ce n'est pas de ce x1x2 = c/a qu'on peut le déduire (que x1 divise c)
tout au moins sans des acrobaties qui reviennent en fait à refabriquer l'équation dont on était parti (ax²+bx+c = 0)

donc autant repartir directement de cette équation !!
c'est à dire suivre la piste à la fin de mon dernier message.

Posté par
sergeslah
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 13:06

OK merci bien.

Posté par
carpediem
re : arithmétique : divisibilité d'une racine d'un trinome 29-09-20 à 20:14

salut

je note et u et v les racines ...

comme mathafou le dit on peut shunter ce "en déduire" en repartant de la définition de "u est racine de P"

mais par contre on peut "en déduire"... mais peut-être faut-il se donner les conditions ... et connaitre la définition de "u divise" ...

pour rappel :dans R tout nombre non nul divise tout nombre ... mais dans N ce n'est plus la même chose et il y a une définition précise !!

de la relation uv = c/a <=> c = auv = u(av)  on en déduit que u divise c dans N si et seulement si a et v sont des entiers !!!

or avec son exemple u = 2 et uv = 3/2 <=> v = 3/4 .... donc c'est mort !!!

donc si v est entier on peut en déduire ... mais comme on n'a pas l'énoncé exact et complet on ne peut savoir ce qu'il en est ...



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