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Arithmétique Dm spé
Posté par kaima59
Bonjour,
Depuis plusieurs jours, je bloque sur un exercice d'un DM et je voulais savoir si vous pouviez m'aider :
1)a- Déterminer une solution particulière de l'équation 19 x+29 y=1 où x et y sont des entiers (utiliser l'algorithme
d'Euclide)
PGCD(29,19)
Algorithme d'Euclide
29=1*19+10
19=1*10+9
10=1*9+1
9=9*1+0.
PGCD(29,19)=1
1=10-1*9
1=10-1*[19-1*10)
1=-1*19+2*10
1=-1*19+2*[29-1*19]
1=2*29-3*19
Ainsi (x,y)=(-3,2)
b- en déduire une solution particulière de l'équation 19 x+29 y=818 (avec x et y
(x,y)=(815x,815y)=(-2454,1636)
c- résoudre dans 
2l'équation 19 x+29 y=818
Là, je bloque.
2) Un théâtre pratique les tarifs suivants : 19 euros l'entrée pour les abonnés Là, je bloque aussi.
29 euros l'entrée pour les non abonnés
A la fin d'une séance, le montant des recettes s'élève à 818 euros. La caissière a perdu le talon des billets, mais elle sait qu'en général, il y a environ deux fois moins d'abonnés que de non abonnés par séance ; Peut- elle retrouver la répartition des spectateurs lors de cette séance ?
Merci d'avance.
Bonjour,
b- en déduire une solution particulière de l'équation 19 x+29 y=818 (avec x et y
(x,y)=(815x,815y)=(-2454,1636) ???
pourquoi 815 ??? se relire !!
rédaction bizarre : x = 818x ????
non
si x0 = -23 et y0 sont solutions de 19x+29y = 1
alors x = 818 x0 et y = 818 y0 sont solution de 19x+29y = 818
on ne peut pas écrire la même variable x dans une même formule pour dire deux choses différentes !!
c-
retrancher membre à membre
19x + 29 y = 818
et
19*(-2454) + 29*(1636) = 818 (attention, ne pas effectuer numériquement les multiplications)
factoriser par19 et par 29 et utiliser Gauss.
Bonjour,
Tout d'abord pris d'avoir pris le temps de répondre, alors:
b)en déduire une solution particulière de l'équation 19 x+29 En effet, c'est une erreur d'inattention
y=818 (avec x et y entier)
D'après là question a, on déduit que (x,y)=(818*(-3),815*2)=(-2454,1636)
c) 29x+29y=19*(-2454)+29*1636
19x+19*2454=29*1636-29y
19(2454+x) =-29(y-1636)
Alors 19|29(y-1636)
Donc, d'après le théorème de Gauss 19|y-1636
donc y-1636=19k avec k
y= 19k +1636
En remplaçant y par 19k+1636 dans l'équation 19(2454+x) =-29(y-1636) on obtient :
19(2454+x) =-29(19k+1636 -1636)
19(2454+x) =-29*19k
2454+x=-29k
x=-29k-2454
Finalement les solutions de l'equations sont de la forme :
x=-29k-2454
y= 19k +1636 Avec k
bein voyons ??
la mise en équation évidente en appelant x le nombre d'entrées à 19€ et y celui d'entrées à 29€ est
19x + 29y = 818
ça ne te rappelle rien ?
on a déja les solutions dans Z il suffit juste de chercher les valeurs de k qui donnent des valeurs > 0 pour ces solutions .
simple paire d'inégalités