Bonjour,

je doute qu'on demande ça en Terminale sans un gros paquet de questions intermédiaires !
voir de la littérature (Internet) sur les équations de Pell-Fermat.

il y a un nombre infini de solutions.

salut

a sec , on peut ecrire que  5x² -20 = y² <--> 5(x²-4)=y²   on peut donc chercher des carrés qui sont des multiples de 5 ( mais comme aussi ils sont  divisibles par 5) ils se terminent par 0 ou 5 et parmi la liste des carrés il n' a pas de nombres qui se terminent par 5 ..on peut donc privilegier des nombres se terminant par 0 comme  100 , 900, 4900,10000..etc

ca peut etre une piste ...mais comme dit mathafou il aurait fallu un préalable

..j'ai dit une betise ...il y a bien des carrés qui se terminent par 5  comme 225 ,625

arf ! pas reveillé !..ont peut donc travailler sur des carrés se terminant par 0 et par 5

... et puis avec (x²-4)=(x-2)(x+2)  .. ont peut surement faire des choses

..mais bien sur cette methode ne permettra pas d'avoir "tout les couples solutions"
mais seulement d'en exhiber quelques unes

salut

travailler modulo 3 semble (comme ça de tête) peut-être intéressant ...

mais comme l'a dit mathafou très difficile ...

donc wait and see ... pour voir ce qu'il en est de l'énoncé exact ...

le mieux que l'on peut faire sans théorie compliquée c'est de remarquer que étant fatalement un multiple de 5, on peut poser et l'équation devient après simplification par 5



qui donne deux solutions"évidentes" :
et une autre pas plus compliquée

mais la suite est hors niveau sans guide.
il faut alors prouver (par énumération) qu'il n'y en a pas d'autres avec une certaine valeur définie par la théorie
(hors sujet en Terminale de prouver cette borne et qu il suffit de ne chercher que ces solutions dites "fondamentales")
la théorie toujours montre que toutes les solutions sont issues de ces deux là par une récurrence



pour trouver ces coefficients et prouver qu'il n'y a pas d'autres solutions que ces deux doubles suites, on va très loin du niveau Terminale.
quoique ....
le concours général de mathématiques de 1966 je crois portait justement sur ce genre d'équation (sans le dire, on cherchait des points à coordonnées entières sur une conique) mais était largement guidé par une succession de questions sans aucun rapport apparent
commençant par prouver que l'ensemble des solutions muni d'une certaine opération formait un groupe etc
ça revient à la formule de récurrence précédente, écrite sous forme matricielle
(le déterminant de cette matrice étant 1 etc )



le manque de préparation à ce genre de chose (concours général) m'avait fait complètement rater ce concours.

comme je le disais les calculs sont de niveau Terminale maxi, mais sans guide (succession de questions explicites dans l'énoncé) impossible de se retrouver dans ce labyrinthe ni d'avoir l'idée de chercher dans telle ou telle direction.

je sais que tu es un "pro" en ce domaine   ^(*)

le fait que y est multiple de 5 et les deux couples "solutions" "primitifs" sont évidents

comme je l'ai dit travailler modulo 3 conduit à

conduit aussi à en savoir beaucoup plus sur ces solutions (par traitement des peu nombreux cas) (sans toutefois les donner ... enfin faut voir)

(*) la mise en bouche (l'introduction) de la théorie que tu présentes est classique ... quand on la connait effectivement (groupe sous-jacent et traitement matriciel)

mais bien sur tout cela sort du cadre du lycée ...

cela ne doit pas empêcher un élève de cogiter et avec un peu de réflexion et de rigueur d'aller tout de même très loin ... en théorie !!

"à en savoir beaucoup plus"
ça va pas aller très loin

pour info les solutions avec y < max fixé à priori sont faciles à obtenir "sans aucune théorie" avec un algorithme brutal que l'on programme sur sa machine.
7 solutions avec y < 1000, et seulement deux de plus avec y < 10000