dans {1,2....mn}*

Bonjour,

Tu devrais dire clairement quel est le but de l'exercice : c'est bien de montrer que est une bijection de sur ?

Par ailleurs je ne comprends pas ton "donc" ici :

Dans ce qui précède, j'ai montré d'une part que si k était dans Tmn on avait f(k) dans Tm x Tn et d'autre part que f était une injection. La question d'après était de montrer que x congru à a modulo m et que x congru à b modulo m et la dernière de montrer qu'on avait en effet cette bijection.

Le but est par conséquent de montrer que f est surjective de Tmn dans Tn x Tm. Puisqu'on a montré que Im f était inclus dans Tm x Tn j'ai pensé qu'il fallait utiliser le dernier point pour prouver que Tm x Tn était inclus dans Imf et par conséquent que si on avait (a,b) dans Tm x Tn qu'il existait x de Tmn tel que f(x) = (a,b).

Bien tu confirmes le but de l'exercice.
Par contre, tu ne réponds pas à la deuxième partie de mon message. je répète la question : pourquoi affirmes-tu que x est congru à 1 modulo mn ?

Ensuite, qu'as-tu à montrer ? Tu t'es donné (a,b)\in T_m\times T_n.  Il te faut trouver un x, entier naturel inférieur ou égal à mn et premier avec mn dont le reste dans la division par m (resp. n) est a (resp. b).

Fais le point de ce à quoi tu es arrivé.

Avec le code LaTeX entre balises, c'est mieux :

Ensuite, qu'as-tu à montrer ? Tu t'es donné .  Il te faut trouver un , entier naturel inférieur ou égal à et premier avec dont le reste dans la division par (resp. ) est (resp. ).

x est premier avec mn car :
—> x congru avec a modulo m
or a congru à 1 modulo m par définition
Donc x congru à 1 modulo m par transitivité
De manière analogue, on obtient x congru à 1 modulo n
—> Comme de plus, m est premier avec n, on a x congru à 1 modulo mn

Maintenant, si cela est correct, comment montrer que x est inférieur à mn ? C'est cela que je ne vois pas du tout à partir des données que l'on a

Très bien vu, je ne m'étais pas aperçu de ma confusion. Cela veut dire que je n'étais pas sur la bonne piste probablement à cause de cette erreur et qu'il doit y avoir autre chose à tirer de ces deux congruences.

Je vais essayer de former le x en faisant une analyse avec les conditions que x doit remplir. Avez vous une idée ?

Tu étais parti sur une bonne piste. Persévère, en corrigeant ton erreur.

J'ai réussi à montrer que x était premier avec mn en utilisant l'identité de Bézout avec le fait que a est premier avec m et que b est premier avec n puis en injectant le tout dans l'expression de x et enfin en utilisant le fait que m est premier avec n.

Toutefois, je ne vois toujours pas comment prouver que x est inférieur à mn

Si x n'est pas dans les clous, il n'est pas difficile de trouver un y dans les clous congru à x modulo mn.

Ce qui a un goût de théorème chinois ! Merci beaucoup 👌

Non, ce n'est pas chinois. C'est juste prendre le reste dans la division euclidienne par mn.

Et par transitivité on conservera y congru a modulo m & y congru b modulo n

De plus, on aura y premier avec mn

C'est l'exercice qui m'a fait penser au théorème chinois avec les deux congruences démontrées

Le résultat qu'on te fait montrer est effectivement un corollaire du théorème des restes chinois : si et sont premiers entre eux, l'isomorphisme induit un isomorphisme entre groupe des inversibles de ces anneaux : .