Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Arithmétique/Nombres premiers

Posté par
helioss 30-11-23 à 23:13

Bonjour je suis en train de faire un devoir sur les nombres premiers mais je bloque a 2/3 questions pouvez vous m'aidez s'il vous plait.

Voici l'introduction :
"Le logarithme népérien d'un réel x strictement positif sera noté Log(x). On note, P , l'ensemble des nombres premiers. La lettre p (utilisée comme variable ou bien comme indice dans un produit ou une somme) désignera toujours un nombre premier. Si n est un entier naturel non nul, et p un nombre premier, on note vp(n) la valuation p-adique de n : c'est l'exposant de p dans l'écriture de n en produit de nombres premiers (vp(n) est donc nul si p ne divise pas n). On note par ailleurs ∆n le ppcm des entiers 1, . . . , n. Enfin, π(n) est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n

Il ya des calculs préliminaires que j'ai reussi, il fallait montrer, entre autres, que :
Soient a, b deux entiers naturels tels que 1 ≤ b ≤ a,  
b*(combinaison de b dans a) divise ∆a

Puis je bloque ici:
6. Soit n un entier naturel non nul. Justifier que les entiers
n*(combinaison de n dans 2n) et (2n+1)*(combinaisons de n dans 2n) divise ∆2n+1; (j'y suis arrivé) mais je narrive pas à montrer que n*(2n+1)*(combinaison de n dans 2n) divise ∆2n+1

Jai encore 2 questions, mais j'espère que vous pourrez déjà m'aidez pour celle ci, merci beacoup

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 30-11-23 à 23:29

Bonsoir,

tu peux utiliser que n et 2n+1 sont premiers entre eux

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 07:21

Bonjour, merci de votre réponse,

Je vois pas du tout comment faire,
car il s'agit de n*(combinaison de n dans 2n) et
(2n+1)*(combinaison de n dans 2n) et non seulement de n
et de 2n+1
merci de votre aide

Posté par
GBZMre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 10:22

Bonjour,
Pose \Large \Delta_{2n+1}=kn\binom{2n}{n}=\ell(2n+1)\binom{2n}{n} et montre que n divise \ell.

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 13:39

Super merci pour cette aide !

On a donc k*n=(2n+1)*l

Or n et 2n+1 sont premiers entre eux

et puis comment montrer que n divise l ? merci beaucoup

Posté par
GBZMre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 13:50

Tu n'as jamais entendu parler du résultat suivant :
Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.  ???
Ce résultat est souvent appelé "lemme de Gauss".
Si tu ne l'as pas déjà vu, tu peux le démontrer en utilisant une identité de Bézout entre a et b.

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 17:30

Oui si bien sûr, et donc k n'est pas important ? et pourquoi n'aurait on pas l qui divise n plutôt ?
Merci

Posté par
GBZMre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 18:15

Euh ... as-tu bien réfléchi à ce que dit le lemme de Gauss ?

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 18:44

Ah oui pardon ! C'est bon je l'ai merci ! Excusez moi je me suis pas assez posé
J'ai encore 3 questions  qui me bloquent j'espère que vous pourrez m'aider ( mes problèmes sont situés sur des questions d'arithmétique)

9. Soit m un entier naturel non nul.  On note am le produit des nombres entiers compris entre m+2 et 2m+1

Prouver que am est premier avec (m+1)!
En déduire que am divise (combinaison de m+1 dans 2m+1)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 21:39

Entre m+2 et 2m+1 il y a exactement m entiers

donc si m\geqslant2, un au moins parmi ces m entiers est pair

et par suite leur produit am est aussi pair

et comme (m+1)! est pair dès que m\geqslant1, ...

tu devrais donc t'assurer des énoncés des questions !

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 22:08

AIE ! Grosse erreur de ma part ! Je m'excuse pardon !!
am désigne le produits des nombres premiers compris en m+2 et 2m+1

Montrer que, si m est un entier non nul, am divise \begin{pmatrix} 2m+1\\m+1 \end{pmatrix}

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 22:10

***On doit d'abord montrer que am et (m+1)! sont premiers entre eux

Merci beaucoup !

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 22:12

Je joins le sujet si jamais

pdf
PDF - 179 Ko

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 22:27

Aucun des nombres premiers qui se trouvent entre m+2 et 2m+1 ne peut diviser aucun des entiers 1,2,...,m+1

on en déduit que chacun de ces nombres est premier avec (m+1)! et il est donc de même pour leur produit am

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 22:34

Ok super merci !

Et puisque am divise (2m+1)! alors
am divise \begin{pmatrix} 2m+1\\ m+1 \end{pmatrix}

La justification ne me paraît pas assez solide ? C'est correct ?

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 22:54





Je rajoute aussi mon avant-dernière question avant qu'on me réponde :


2.      Dans une question je devais montrer par récurrence que
e^x = \sum_{k=0}^{n}{\frac{x^k}{k!}} +\int_{0}^{x}{\frac{(x-t)^n}{n!}e^tdt\}


Puis, mon problème, est que je dois en déduire :
m! \geq (\frac{m}{e})^m



Merci encore !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 23:21

il suffit de remarquer que \begin{pmatrix} 2m+1\\ m+1 \end{pmatrix}=\frac{(m+2)...(2m+1)}{m!}

et donc que am divise m!\begin{pmatrix} 2m+1\\ m+1 \end{pmatrix}


et comme am est premier avec m! ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 23:34

2. La déduction est facile prendre x=n=m

ce qui s'écrit : e^m = \sum_{k=0}^{m}{\frac{m^k}{k!}} +\int_{0}^{m}{\frac{(m-t)^m}{m!}e^tdt

et donc e^m = \frac{m^m}{m!}+\sum_{k=0}^{m-1}{\frac{m^k}{k!}} +\int_{0}^{m}{\frac{(m-t)^m}{m!}e^tdt ...

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 23:35

Ouah trop fort merci ! Je n'ai pas fait d'arithmétique depuis un bail...
Merci beaucoup !!

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 23:39

Encore merci ! j'ai encore une/deux question/s qui me gène/nt mais je préfère encore y réflechir un peu plutôt que de la poser bêtement, je la posterai sûrement demain
Merci encore !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 01-12-23 à 23:49

C'est un plaisir helioss

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 02-12-23 à 09:59

On a donc comme résultats :
-    am divise \begin{pmatrix} 2m+1\\m+1 \end{pmatrix}

-  am \leq 4^m

- Prouver que pour tout entier k compris entre 0 et 2n, \begin{pmatrix} 2n\\k \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}


- On pose : Rn = \prod_{p\leq n}^{}{p} le produits des nombres premiers inférieurs ou égaux à 1, ( il vaut 1 si il n'y en aucun )

La question est :
Prouver que pour tout entier naturel n non nul, Rn \leq 4^n ( (on pourra prouver par récurrence que n*, k {1,2,...,2n} : R_k \leq 4^k




C'est la question 10 du sujet que j'ai mis en ligne
Et enfin mon dernier probleme se trouve sur la question 12

Merci beaucoup de votre aide !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 03-12-23 à 03:22

10. Dans cette question on demande de prouver que \blue\Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~R_n\leqslant4^n}

où R_n est le produit de tous les nombres premiers qui se trouvent entre 1 et n.

On propose de montrer par récurrence la véracité de la proposition \Large\boxed{\left(\mathcal H_n\right)~:~\forall k\in\{1,...,2n\}~,~R_k\leqslant4^k} :

\bullet \mathcal H_1 est vraie vu que R_1=1\leqslant4 et R_2=2\leqslant4^2.

\bullet Supposons alors que \mathcal H_n soit vraie pour un certain entier n\geqslant1 (c'est hypothèse de récurrence).

Comme \Large\boxed{R_{2n+1}=R_{n+1}a_n} on voit que \Large\boxed{R_{2n+1}\leqslant4^{n+1}4^n=4^{2n+1}}.

Et comme \Large\boxed{R_{2n+2}=R_{2n+1}} on voit que \Large\boxed{R_{2n+2}\leqslant4^{2n+2}}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 03-12-23 à 03:35

12. il est classique que pour toute application strictement croissante \varphi:\mathbb N^*\to\mathbb N^* on a \varphi(n)\geqslant n pour tout n,

(c'est un résultat qui se montre facilement par récurrence).

Et comme \Large\boxed{\left(\pi(n)\right)!=\prod_{k=1}^{\pi(n)}k} on voit que \Large\boxed{\left(\pi(n)\right)!\leqslant\prod_{k=1}^{\pi(n)}p_k}.

Posté par
heliossre : Arithmétique/Nombres premiers 03-12-23 à 14:41

Super merci beaucoup !
J'ai pu tout finir et tout comprendre !
Merci encore monsieur !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmétique/Nombres premiers 03-12-23 à 17:36

Avec plaisir helioss


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !