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ARITHMETIQUES
Posté par Taf88
bonjour j'ai besoin d'aide.On pose a=2n-1 et b=9n+4 .En utilisant le théorème de Gauss déterminer les entiers n pour que pgcd de a et b est 17
Non.
Fais un tableau de congruences :
1ère ligne : n , avec ses restes possibles par la division par 17 (donc, de 0 à 16)
2ème et 3ème lignes : ce que ça donne pour a=2n-1 et b=9n+4 (congruences modulo 7)
Le pgcd de a et b sera 17 si a et b sont tous deux congrus à 0 modulo17 , c'est à dire : reste égal à 0 pour chacun, pour la même "valeur" de n.
Je vois Mais comme on demande d'appliquer le theoreme de Gauss mieux veux appliquer le fait que 17 divise a et b donc 17 divise 2n+16 comme 2 et 17 sont premiè entre eux donc 17 divise n+8
puis tu multiplies par 9 (inverse de 2 modulo 17)
tu vas trouver une condition nécessaire sur n pour que a soit divisible par 17
ensuite tu vérifies que dans ce cas b est aussi divisible par 17
la condition est donc suffisante pour que 17 divise a et b
puis tu utilises ce que tu as fait avant (le pgcd vaut 1 ou 17) pour conclure que dans ce cas là pgcd(a;b)=17
Bonjour,
Je me permets de commenter un des messages de Taf88 :
Citation :
17 divise a et b donc 17 divise 2n+16
D'où sort le 2n+16 ?
17 divise a et b donc 17 divise 2n+16
Pourquoi ne pas utiliser l'indication donnée par LeHibou ce matin ?
b-4a = n+8 et travailler avec n+8 me semble plus simple qu'avec 2n+16.
D'accord pour tout ceci :
Si pgcd(a,b) = 17 alors 17 divise a.
2n+16 = a+17 ; donc 17 divise 2n+16 qui est égal à 2(n+8).
17 est premier avec 2 ; donc 17 divise n+8.
D'où :
Si pgcd(a,b) = 17 alors n 
-8 [17] .
On peut préférer n 9 [17] .
Il reste à faire la réciproque.