Exercice original ; je crois que je ne l'avais jamais vu.
Tu envisages quoi comme piste, tu as bien un début d'idée ?

Esseyer de montrer que chaque valeur est divisible par 20

Cest à dire 20 divise a , b et c

moi je considérerais que 60 = 4*3*5 et je chercherais à prouver que
l'un au moins de a,b,c est divisible par 4 ou qu'ils sont tous pairs
l'un au moins est divisible par 3
l'un au moins est divisible par 5
...

et puis une solution de a²+b²=c² est 3² + 4² = 5² et aucun de 3, 4, 5 n'est divisible par 20 ton idée est complètement fausse.

Bonjour,
Une piste à vérifier :
Faire trois tables modulo 2, 3 et 5 pour c².
Puis trois tables à double entrée pour a²+b².
Puis les comparer.

Modulo 4 plutôt que modulo 2 ?

La methode de mathafou me semble plus facile

Nous proposons et tu disposes

salut

montre que a et b ne peuvent être simultanément impairs

donc a et b sont tous les deux pairs et alors abc est multiple de 4

ou a est pair et b et c sont impairs et alors il faut montrer que a est en fait multiple de 4

or permet de montrer que k est pair

donc abc est multiple de 4

or 3, 4 et 5 sont premiers entre eux donc maintenant on peut suivre l'idée de mathafou en ne s'occupant que de 3 et 5

enfin la propriété permet de se limiter au cas (a, b, c) premiers entre eux si nécessaire ...

on peut effectivement "bourriner" (lister toutes les possibilités) avec des tables de congruences mais remarquer que permet de "rédiger" (en français) un raisonnement justifiant la divisibilité par 3 et par 5

soit b ou c est multiple de 3 (et c'est fini) soit b et c ne sont pas multiples de 3 et alors ... (il est très facile de montrer que a est multiple de 3)

soit b ou c est multiple de 5 (et c'est fini) soit b et c ne sont pas multiples de 5 et alors ... (c'est un peu plus long)

...

Bonjour carpediem,
Une coquille, me semble-t-il au début : "montre que a et b et c ne peuvent être simultanément impairs".
Ou j'ai mal compris ?

non c n'a pas d'importance : l'important c'est qu'on a le carré de quelque chose ...

de plus si a et b ne sont pas simultanément impairs alors évidemment a, b et c ne sont pas simultanément impairs ...

Bonjour,

0 = 0 mod 3
1 = 1 mod 3
2² = 1 mod 3

0 = 0 mod 4
1 = 1 mod 4
2² = 0 mod 4
3² = 1 mod 4

0 = 0 mod 5
1 = 1 mod 5
2² = 4 mod 5
3²= 4 mod 5
4² = 1 mod 5

Pour mod 3 et mod 5 on voit que a,b ou c sont divisibles par 3 (respt 5) notant que la solution a = b = c = 0 mod 3 (respt mod 5) est évitable quitte à diviser par 3² (respt 5²) l'équation des deux côtés.

Pour mod 4 on peut supposer que a, b et c ne sont pas tous divisibles par 2 quitte à diviser. Donc on a au maximum deux nombres divisibles par 2 ou par 4. Le reste peut être déduit de la liste des carrés.

60 c'est 3x4x5
3 , 4 et 5 sont premiers entre eux.
Donc la démarche pour montrer qu'un nombre est multiple de 60, c'est de montrer qu'il est multiple de 3, de 4 et de 5.
Ca, c'est le plan de travail. Maintenant qu'on a un plan, on peut avancer.
Pour montrer que abc est un multiple de 3, comment on va faire ? On va montrer que soit a, soit b, soit c est multiple de 3.
Pour montrer que abc est un multiple de 5, on va montrer que soit a, soit b, soit c est multiple de 5.
Et pour montrer que abc est un multiple de 4, on va voir comment on va faire. 4 n'étant pas premier, c'est un peu plus compliqué.

Maintenant on a un plan encore plus détaillé.  On sait précisément où on va.
Y plus qu'à suivre le plan.

déjà dit ...

Bonsoir,

On sait générer tous les triplets pythagoriciens primitifs en prenant r et s premiers entre eux et de parités opposées.
u = r² - s², v = 2rs, w = r² + s²
(Démonstration sur Wikipedia)
Il reste alors à traiter : ni r, ni s ne sont multiples de 3 ou 5, ce qui est simple....

Bonjour vham,
Je vois mal un élève de terminale utiliser tes arguments pour traiter son exercice
Je pense qu'on lui demande une démonstration qui ne s'appuie pas sur des pré-requis de ce genre.

--> Sylvieg : d'accord si on ne lui a pas parlé de triplets primitifs, ni introduit dans des questions préalables de l'exercice.
Il n'est cependant pas hors de portée d'un élève de terminale d'apprendre comment générer TOUS les triplets pythagoriciens primitifs, c'est même une question qu'il doit se poser naturellement...

Note : s peut valoir 1 . J'ai donc écrit à tort "r et s premiers entre eux" .
Il faut écrire : PGCD de r et s = 1

de toute façon j'avais donné le squelette de ce qu'on peut attendre d'un spé (et que j'attends d'eux : il ne reste qu'à justifier et détailler certaines affirmations et finir) ... sans avoir besoin de quoi que ce soit d'autre ...

il (m')arrive de donner des formules de triplets pythagoriciens mais ça n'est pas exigé ...

...

Bonjour,
Je reprends l'idée des congruences modulo 3, 5 et 4.
Sauf que j'ai remplacé 4 par 8
La notion de résidu quadratique n'est pas très loin...

Propriété commune pour 3 et 5 :
Si x n'est pas congru à 0, alors x² est congru à 1.
Ce qui donne aussi : Si x² n'est pas congru à 1, alors x est congru à 0.

D'où pour a² + b² = c² :
Si ni a ni b ne sont congrus à 0, alors a²+b² est congru à 0, 2 ou -2.
Pas à 1 ; donc c est congru à 0.
Le cas de 3 et 5 est donc réglé.

Pour 4, c'est moins simple.
Si x est impair, alors x² est congru à 1 modulo 8.
Donc, si a et b étaient tous les deux impairs, alors c² serait congru à 2 modulo 8.
Or x² n'est jamais congru à 2 modulo 8.
a et b ne peuvent être tous les deux impairs.
On peut supposer a pair.
Si b ou c est pair, alors abc est un multiple de 4.
Sinon, b et c sont impairs alors c²-b² est congru à 1-1=0 modulo 8.
Or x² n'est congru à 0 modulo 8 que si x est congru à 0 ou 4 modulo 8.
Donc, dans ce cas, a est un multiple de 4 car congru à 0 ou 4 modulo 8.
Et abc est encore un multiple de 4.

Aïe ! J'ai trop voulu comprimer.
Ce que j'ai écrit pour modulo 3 est faux.
Il faut le séparer de modulo 5 :

Si x n'est pas congru à 0 modulo 3, alors x² est congru à 1 modulo 3.
Ce qui donne aussi : Si x² n'est pas congru à 1, alors x est congru à 0.

D'où pour a² + b² = c² :
Si ni a ni b ne sont congrus à 0, alors a²+b² est congru à 2 modulo 3.
Pas à 1 ; donc c est congru à 0 modulo 3.
Le cas de 3 est donc réglé.

certes mais je trouve que passer par les congruences est moins riche intellectuellement que de le faire par un raisonnement sans congruence ... car cela nécessite de dire les choses correctement donc de savoir s'exprimer ...

même si utiliser la division euclidienne n'est pas loin d'utiliser les congruences (simplement une façon différente d'écrire ou de formuler les choses)

de plus tes affirmations sur les congruences des carrés nécessitent de faire en préambule des tableaux de congruence ...



il faudrait cependant réordonner ma démonstration ...