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arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe

Posté par
fredisedegnon 07-02-20 à 22:41

bonsoir
le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (o,e1,e2). u et v sont deux nombres complexes non nul. déterminer le nombre complexe w= u÷v tel que |u|= 3,  |v| = 5 et |u - v| = 7
proposition de réponse

posons u=a+ib , v=x+iy
|u|=3=> a²+b²=9
|v|=5=> x²+y²=25
|u-v|=7=> (Ax+by)=15/2

u÷v= (Ax+by)÷(x²+y²) +{ (bx-ay)÷(x²+y²) }i
en utilisant les valeurs trouvées ci-dessus la partie réelle donne 15/18 = 5/6
je ne sais plus comment procéder pour trouver la partie imaginaire de w
vos aides me seront très nécessaire. merci

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 07-02-20 à 22:56

Bonsoir,

Dans certaines circonstances, on peut s'appuyer sur la géométrie.

Pour le module du rapport, pas de problèmes: il vaut \dfrac{3}{5} .

Pour un argument, je vois un parallélogramme, ses diagonales et éventuellement Al Kashi.

Posté par
fredisedegnonre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 07-02-20 à 23:16

y

Posté par
fredisedegnonre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 07-02-20 à 23:17

<<Pour un argument, je vois un parallélogramme, ses diagonales et éventuellement Al Kashi.>>

je ne comprends pas ce que vous voulez m'expliquer par cette phrase

Posté par
fredisedegnonre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 00:04

aider moi s'il vous plaît

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 00:09

Essaie de faire un dessin:

Dans le repère orthonormé O,\vec{e_1},\vec{e_2}:

Place un point A en sorte que l'affixe de A soit u de module 3

Place un point B en sorte que l'affixe de B soit v de module 5.

\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA} a pour affixe u-v

Et donc d'après ton énoncé, BA=|u-v|=7

Tu as donc un triangle OAB dont tu connais la mesure des 3 côtés.

De plus, arg\left(\dfrac{u}{v}\right)=(\vec{OB},\vec{OA})\,\,[2\pi] et tu peux calculer le cosinus de cet angle dans le triangle OAB avec par exemple Al Kaschi.

J'ai parlé plus haut de parallélogramme. Là on ne se sert que de la « moitié »

Posté par
fredisedegnonre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 00:25

s'il vous y donner moi le théorème Al Kaschi.

Posté par
fredisedegnonre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 00:30

j'ai absolument besoin de votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 07:46

Bonjour,
Voir VII de Produit scalaire : Rappels, Applications et compléments

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 09:18

@fredisedegnon
Une remarque sur tes calculs :
Avec ax+by =15/2 et x²+y²=25, on ne trouve pas 5/6 comme partie réelle de u/v, mais 3/10.
Une fois 3/10 trouvé, on peut en déduire la partie imaginaire, au signe près, en utilisant le module de u/v qui est connu.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 09:36

Et on ne peut pas faire mieux

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 09:41

Mais, vu le repère donné au début de l'énoncé, c'est plutôt la méthode de lake qui semble attendue.

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 12:08

Une figure:

arythmétique dans la détermination d\'un nombre complexe

A est un point quelconque du cercle de centre O et de rayon 3

B et B' sont les intersections du cercle de centre O et de rayon 5 et du cercle de centre A et de rayon 7

D' où deux solutions:

  arg\left(\dfrac{u}{v}\right)=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})\;\;[2\pi]

   arg\left(\dfrac{u}{v'}\right)=(\overrightarrow{OB'},\overrightarrow{OA})\;\;[2\pi]

Cela en sachant que \left|\dfrac{u}{v}\right|=\left|\dfrac{u}{v'}\right|=\dfrac{3}5{}

Une formule:

   \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB\,\cos(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{1}{2}(OA^2+OB^2-AB^2)

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 12:25

Une remarque:

  

Citation :
|u-v|=7=> (ax+by)=15/2


Je pense qu'il manque un signe "-"

   et du coup,  \Re\left(\dfrac{u}{v}\right)={\red -}\dfrac{3}{10}
  

Posté par
vhamre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 15:03

Bonjour,

sur la judicieuse remarque de lake :

Citation :
Tu as donc un triangle OAB dont tu connais la mesure des 3 côtés.

Puisque l'on cherche argument(u/v) = argument(u) - argument(v) autant choisir argument v = 0
u=a+ib   soit a²+b² = 9
v=c+i0   soit c = 5   et (a-c)² + (b-0)² = 49
la troisième équation est   a²-2ac+c²+b² = 49
les valeurs numériques de u sont donc a = ... ; b = ...

Posté par
vhamre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 15:10

correctif :
En choisissant v=c+i0 on a c = 5, pas simplement c = 5

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 17:33

@lake,
Effectivement, il manquait un moins
@vham,
Oui, c'est tentant de fixer arbitrairement v.
Mais si on ne veut pas avoir à le justifier, on peut démarrer ainsi :
v = 5ei , u = 3ei et d = -.
Ça revient à faire une rotation.
On a alors
u/v = (3/5)eid
et
|v-u| = |5-3eid| = |5-3cos(d)-3isin(d)|

|v-u| = 7 permet de trouver cos(d) puis les deux valeurs possibles de sin(d).

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 17:37

Une méthode calculatoire:

|u-v|=7\Longleftrightarrow (u-v)(\bar{u}-\bar{v})=49\Longleftrightarrow |u|^2+|v|^2-(u\bar{v}+\bar{u}v)=49

  d'où    u\bar{v}+\bar{u}v=-15  (1)

  (u\bar{v}-\bar{u}v)^2=(u\bar{v}+\bar{u}v)^2-4\,u\bar{u}v\bar{v}=(u\bar{v}+\bar{u}v)^2-4\,|u|^2|v|^2

  d'où    (u\bar{v}-\bar{u}v)^2=675=(15i\sqrt{3})^2  (2)

Puis:

   \Re\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{u}{v}+\dfrac{\bar{u}}{\bar{v}}\right)=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{u\bar{v}+\bar{u}v}{|v|^2}=-\dfrac{3}{10} avec (1)

\Im\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{1}{2i}\,\left(\dfrac{u}{v}-\dfrac{\bar{u}}{\bar{v}}\right)=\dfrac{1}{2i}\,\dfrac{u\bar{v}-\bar{u}v}{|v|^2}=\pm\,\dfrac{3\sqrt{3}}{10} avec (2)

Malheureusement, une petite réciproque est nécessaire.

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 17:41

Zut!

Citation :
d'où    (u\bar{v}-\bar{u}v)^2={\red -}675=(15i\sqrt{3})^2   (2)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 18:27

Deux petites figures pour illustrer quand on part de v :
arythmétique dans la détermination d\'un nombre complexe arythmétique dans la détermination d\'un nombre complexe

Posté par
alb12re : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 08-02-20 à 18:48

de grâce, que les geometres ne me vouent pas aux gémonies !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 09-02-20 à 07:58

Bonjour,
@alb12,
Je lis ceci dans ton lien :
"Le programme renvoyant les 4 valeurs possibles de u/v"
Ensuite il y a 4 expressions, mais égales 2 à 2...
Qu'est-on censé en penser ?

Posté par
lakere : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 09-02-20 à 09:47

Bonjour Sylvieg

Ah!!! Des dessins!

Tu vas voir: quand on commence, on ne peut plus s'en passer

Posté par
alb12re : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 09-02-20 à 11:25

Sylvieg @ 09-02-2020 à 07:58

Bonjour,
@alb12,
Je lis ceci dans ton lien :
"Le programme renvoyant les 4 valeurs possibles de u/v"
Ensuite il y a 4 expressions, mais égales 2 à 2...
Qu'est-on censé en penser ?

Le systeme a 4 solutions
(u,v) est solution si et seulement (-u,-v) est solution
donc pour u/v on obtient 2 reponses distinctes

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 09-02-20 à 14:26

D'accord alb12

@lake,
Je m'y suis mise il y a environ deux ans.
Je poste de temps en temps des dessins ; mais je suis loin de ta virtuosité

Posté par
fredisedegnonre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 14-04-20 à 09:39

merci pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 14-04-20 à 09:56

De rien fredisedegnon
Pas trop dur le confinement ?
Profites-en pour mettre à jour ton profil (tu n'es plus en 1ère).

Posté par
carpediemre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 14-04-20 à 13:43

salut

|u| = 3 et |v| = 5 et w = u/v

évidemment u et v ne sont pas nuls et |w| = 3/5

|u - v| = 7 \iff |w - 1| = 7/5

donc le point M d'affixe w appartient aux cercles C(0, 3/5) et C(1, 7/5)

il y a donc deux solutions et par symétrie par rapport à l'axe des réels ces solutions sont conjuguées

il est alors aisé (mais fastidieux) de déterminer explicitement w ... à partir des équations cartésiennes de ces cercles ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arythmétique dans la détermination d'un nombre complexe 15-04-20 à 08:44

Bonjour,
La méthode qu'avait amorcée fredisedegnon dans son premier message est tout à fait exploitable si on y corrige l'erreur :
ax+by = -15/2.
On en déduit la partie réelle de u/v : -3/10.
Puis les deux parties imaginaires possibles de u/v : (3/10)3.

Ce qui est étonnant, c'est la simplicité des arguments : 2/3.

Le signe d'un cheminement plus simple possible ?


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