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Asymptotes obliques
Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths.
L'énoncé est :
On considère la fonction f définie sur R-{2} par f(x) = (2x²-3x-1)/(x-2) on appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i ; j )
1) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduire l'existence d'éventuelles asymptotes.
2) En +
et - la courbe C semble se rapprocher d'une droite D non parallèle aux axes du repère. Le but de cette question est de déterminer D et de justifier cette observation.
a)Déterminer les réels a,b et c tels que pour tout réel x
2, f(x)=ax+b+[c/(x-2)].
b)On considère alors la droite D d'équation y=ax+b.Etudier les positions relatives de D et C.
c)Soit un réel x2, on appelle M et N les points d'abscisse x et situés respectivement sur C et D. Exprimer la distance MN en fonction de x suivant les valeurs de x.
d)Déterminer les limites de la fonction x 
MN en + et - et interpréter graphiquement ces résultats.
A savoir :
On dit que D est une asymptote oblique à C en + et -.
3-a-Déterminer les coordonnées du point A d'intersection des deux droites asymptotes à C.
b-Placer A sur le graphique. Quel rôle particulier semble jouer ce point pour la courbe C ? Démontrer cette conjecture.
Aide :
Considérer les points M et M' de C d'abscisses respectives 2+h et 2-h où h est un réel non nul.
Ce que j'ai fais :
1- .lim 
- f(x)= -
.lim + f(x)=+
.lim 2 quand x
2 f(x)=+
quand x
2 f(x)=-
-Asymptote verticale en 2.
Et je suis bloqué dès la 2-a pouvez-vous m'aider ?
Merci de votre attention.
Bonjour,
Je pose ma division:
et l'effectue selon les puissances décroissantes de x ,
je trouve un quotient 2x+1 et un reste 1 ,ce qui répond à la question 2a ,
...
Alain
Cela revient à mettre la première expression de f(x) sous la forme de la seconde expression (avec a et b ).
On peut aussi metrte la seconde expression sous la forme de la première, et identifier les coefficients; d'où a et b .
Oui mais j'ai essayé de faire les deux façon et je pense que je fais un truc mal puisque quand je pars de la première expression je ne tombe pas sur la deuxième et inversement.
En partant de la première j'arrive à (2x-4)/-1 et en partant de la deuxième à (ax²-2ax+bx-2b+c)/(x-2) du coup je ne vois pas comment faire.
Je viens de refaire en partant de la première équation et j'ai trouvé -2x+3-1/(x-2), est ce que c'est sa ou ai-je fais une erreur de calcule ou autre?
Prenons la méthode Priam (car la division euclidienne de polynômes dont raffole alainpaul, ça n'est plus enseigné je crois)
ax+b+ c/(x-2) = (ax+b)(x-2) + c]/(x-2) = (ax² +(b-2a)x-2b+c)/(x-2) et on veut que ça soit égal à (2x²-3x-1)/(x-2) donc :
a = 2
b-2a = -3 qui donne b = 2a-3 = 1
-2b+c = -1 qui donne c = 2b-1 = 1
et donc (2x²-3x-1)/(x-2) = 2x+1 + 1/(x-2)
Ah d'accord merci je ne partais pas de la bonne équation en fait. Pour la 2-b- faut juste dire ou les deux équations se croisent ?
Etudier les positions relatives de D et C ?
il faut étudier le signe de f(x) -(2x+1) = 1/(x-2)
si c'est positif, la fonction est au dessus, et si c'est négatif elle est en dessous.
D'accord merci beaucoup.
Pourrais-tu m'expliquer la c parce que je ne sais pas vraiment ce qu'ils attendent. Ils nous disent de prendre M et N les points d'abscisse x et situés respectivement sur C et D. Sauf que C coupe deux fois l'axe des abscisse j'en prend un des deux ? Pour exprimer la distance je n'aurais qu'à regarder combien de chiffres y a entre les deux points ? ex: x=-2 et x=0 y aura 2 de différence ou faut faire autrement ?
Ah bon pourtant ils disent qu'ils sont sur C et D et D est une asymptote oblique du coup je ne vois pas comment ils peuvent être sur le même abscisse ??
Fais un croquis : deux courbes l'une au-dessus de l'autre et une verticale d'abscisse x qui coupe les courbes en deux points M et N de même abscisse x .
C'est les points M et N des deux asymptotes, celle verticale et D celle oblique ?
Si c'est le cas est ce que xM de la droite D=-0.5 et l'autre C de l'autre asymptote = 2 ?
Tu trouvera ainsi un réel tel que :
tu étudies ensuite :
Ainsi, la droite d'équation sera asymptote à ta courbe.
Je ne comprend pas pourquoi faut que je trouve une asymptote à ma droite j'ai déjà deux asymptote non ?
Les deux ponts M et N de même abscisse x sont l'un sur la courbe et l'autre sur l'asymptote oblique.
Je réponds juste à la première question en te donnant la méthode.
Tu as :
La droite d'équation est donc asymptote à la courbe.
Et on trouve la même chose quand
Voilà donc 2 bornes de ton domaine qui ont été étudiées.
Il reste à présent à regarder quand
Ah oui mais justement cette asymptote c'est la droite D on l'avait déjà trouvé. Mais je ne vois pas comment MN peut être sur des abscisses commun à C et D puisque la droite ne croise pas l'asymptote c'est sa mon problème.
On trouve effectivement ce que tu as mentionné dans ton tout premier message.
A présent, on y voit plus clair.
Ah oui mais justement cette asymptote c'est la droite D on l'avait déjà trouvé. Mais je ne vois pas comment MN peut être sur des abscisses commun à C et D puisque la droite ne croise pas l'asymptote c'est sa mon problème.
Voir figure.
Ah d'accord je n'avais pas du tout pensé a faire comme sa pour l'abscisse j'y vois beaucoup plus clairement avec ton schéma merci beaucoup. Pour calculer la distance il faut une formule ou on fait juste graphiquement ?
2) alternative :
f(x) = (2x²-3x-1)/(x-2)
f(x) = (2x²-4x + x-2 + 1)/(x-2)
f(x) = [2x(x-2) + (x-2) + 1]/(x-2) = [(2x+1)(x-2) + 1]/(x-2)
f(x) = (2x+1) + 1/(x-2)
---
lim(x--> +/- oo) 1/(x-2) = 0
Et donc pour x --> +/- oo, la courbe de f(x) tend vers celle de la droite d'équation y = 2x+1
La droite d'équation y = 2x+1 est donc asymptote en -oo et en + oo à la courbe représentant f(x)
-----
Sauf distraction. 
Ta distance MN sera donné par :
Tu as vu ci-dessus que a=2 et b=1
tu obtiens donc :
Quand , on a
La distance MN devenant de plus en plus petite au fur et à mesure que , celle-ci va tendre vers 0, d'où l'asymptote.
Ah d'accord du coup y a pas de résultat défini pour la distance MN c'est une fonction et le résultat dépendra donc de la ou l'on les place !! J'ai compris merci beaucoup à vous !!
3-a- A(2;5) ?
b- Je ne suis pas sur mais c'est le point de symétrie de la courbe C ? :/
3-a-Déterminer les coordonnées du point A d'intersection des deux droites asymptotes à C.
Coordonnées du point A, intersection des 2 droites, donc :
b- Je ne suis pas sur mais c'est le point de symétrie de la courbe C ? :/
Oui, tout à fait.
Reste à le prouver.
D'accord donc ça j'avais bon maintenant c'est sur la b que je ne suis pas sur mais je pense que c'est le point de symétrie de la courbe C
Bof, ça me semble une aide un peu "raide".
Je te propose autre chose : ça te rappelle quoi les points de symétrie pour une courbe ?
Heu plus grand chose 
Les points sont reportés à travers le point de symétrie, de même pour la courbe :/ désolé j'ai pas vraiment revu sa depuis la 3ieme quoi :/
.fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = f (x).
.fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = −f (x).
Paire ==> courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Impaire ==> courbe ayant l'origine comme point de symétrie.
En d'autres termes, si on effectue un changement de repère allant de vers
, la courbe sera impaire dans ce nouveau repère.
D'accord du coup si elle avait été paire les courbe aurait été ''collé'' a A ?
Et sa suffit comme démonstration si je fais le schéma ?
D'accord du coup si elle avait été paire les courbe aurait été ''collé'' a A ? ==> absolument pas
Et sa suffit comme démonstration si je fais le schéma ? ==> non
Dans (O,i,j), on a A(2,5) avec les axes Ox et Oy.
Dans (A,i,j), on a A(0,0) avec les axes OX et OY.
Changement de repère :
De ce fait, dans le repère (A,i,j), la fonction aura cette expression :
Il ne reste plus qu'à prouver que la fonction f est impaire dans ce nouveau repère, c'est à dire de montrer que
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