Pose x 0. Est-il possible que x soit dans ker u ? Suppose qu'il l'est, et regarde ce qui se passe.

Très bien, je suppose que x0 et que xKer u
cela veut donc dire que u(x)=0 et donc que u²(x) - 3u(x) + 4x = 0 - 3*0 + 4x = 0 4x=0 or on a supposez que x0 donc on aboutit à une contradiction et donc Ker u = {0} et on conclut que u est injective
J'ai trouvé la réponse en rédigeant ce message, merci pour ton aide .

Bien le bonsoir,

Si on réécrit  ton égalité: u * ( (3/4).Id - (1/4).u ) = Id
( où * est la composition des endomorphismes et . est la multiplication par un scalaire...)
Peux tu trouver l'inverse de u ?

Et bien comme u est un isomorphisme, on a donc :
! u^-1:FE tq u * u^-1 = id
et avec l'égalité que tu as obtenu on a donc u^-1 = (3/4).id - (1/4).u
Est-ce juste ? Et comment as tu réussis à réécrire l'égalité ?

Pour avoir l'égalité il suffit d'arranger celle du départ:  
u² -3u + 4Id = 0

u² - 3u = -4Id

u * ( u - 3Id ) = -4Id

...etc...

T'as ensuite bien trouvé u^-1.
C'est une autre méthode pour ton exercice...

D'accord merci beaucoup.

Autre méthode ? X²-3X+4 est un polynôme annulateur scindé à racines simples sur C donc u est diagonalisable et 0 n'est pas valeur propre car pas racine du polynôme annulateur, d'où u bijective.

Dernière petite question concernant cet exercice :
Je veux montrer que u est surjective, je dois donc montrer que Im u = E
J'ai la définition de l'image d'une application linéaire qui est Im u = {yE tq xE, y = u(x)}
Mais je ne vois pas comment appliquer cette définition dans cet exercice, quelqu'un aurait-il une idée ?

Bonjour

Il n'était pas dit que est de dimension finie?

Il est dit que E désigne un espace vectoriel réel ou complexe.

Bon...

Pour tout tu as

Oui j'avais pensé à quelque chose comme ça.
Donc cela veut dire que xE, on a bien trouvé un yE avec y = (3/4)x -(1/4)u(x) tq x=f(y)
Mais comment montrer que Im u = E ?

Je viens d'écrire que tout x est égal à u(quelquechose)