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Autour de la notion de "inf"

Posté par
Milka3 16-12-20 à 22:17

Bonsoir,

je fais un gros blocage sur la notion de "inf". Précisément, j'ai du mal à comprendre les deux égalités suivantes :

Premier point de blocage :
Le cadre : F est un ssev d'un ev normé E. La lettre d désigne une distance.
L'égalité : \large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) = inf_{x\in F} d(a,x+y) où a\in E et y\in F.

Dans le membre de gauche, c'est la distance de a à x alors que dans celui de droite c'est celle de a à x+y. D'où provient l'égalité ?

Deuxième point de blocage :
Le cadre : A est une partie fermée non vide d'un espace affine euclidien E. La lettre d désigne une distance.
L'égalité : \large\rm\displaystyle inf_{a\in A} d(x,a) = inf_{a\in A\cap B_f} d(x,a) où a\in A et x\in E et B_f désigne une boule fermée.


Dans le membre de gauche, c'est la distance de x à a lorsque ce dernier parcourt A. Dans le membre de droite, c'est la distance de x à a lorsque ce dernier parcourt A\cap B_f D'où provient l'égalité ?

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !

Posté par
Zormuchere : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 01:50

Bonjour
ce n'est pas exactement la distance de x à a, c'est la plus petite distance possible de x à a, où x peut être n'importe quel élément de F

mais alors, à y fixé, x+y peut aussi être n'importe quel élément de F (il suffit de soustraire y) donc la plus petite distance entre a et x+y (à y fixé) est la même que entre a et x

En fait, les applications x\mapsto d(a,x)  et  x\mapsto d(a,x+y) sont les mêmes mais à une translation près, une translation de vecteur -y

Posté par
Zormuchere : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 02:21

pour la deuxième égalité, j'ai un doute. Je ne connais pas très bien les espaces affines mais il n'y a aucune raison d'avoir l'égalité je pense

Posté par
luzakre : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 08:05

Bonjour !
Je crois que tu as dû oublier quelques hypothèses !
Il me semble que la boule B_f doit être de centre a...
Et  il y a des chances que son rayon ne soit pas n'importe quoi !


En faisant un dessin de patates dans le plan tu peux voir facilement que la boule doit rencontrer A...

Posté par
Milka3re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 09:31

Oui, j'ai manqué de précision désolé ! Voici plus d'informations :

x est un élément de E et le rayon r=1+d(x,A)

On considère alors B_f=B_f(x,r)

Je ne vois pas pourquoi : \large\rm\displaystyle inf_{a\in A} d(x,a) = inf_{a\in A\cap B_f} d(x,a) ?

Posté par
Milka3re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 09:38

Zormuche @ 17-12-2020 à 01:50

Bonjour
ce n'est pas exactement la distance de x à a, c'est la plus petite distance possible de x à a, où x peut être n'importe quel élément de F

mais alors, à y fixé, x+y peut aussi être n'importe quel élément de F (il suffit de soustraire y) donc la plus petite distance entre a et x+y (à y fixé) est la même que entre a et x

En fait, les applications x\mapsto d(a,x)  et  x\mapsto d(a,x+y) sont les mêmes mais à une translation près, une translation de vecteur -y


Je comprends globalement l'idée. Mais s'agissant de la rédaction, j'ai plus de mal car je ne sais pas trop qui varie et qui est fixe !

Pour montrer l'égalité, je pensais montrer que :

\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le inf_{x\in F} d(a,x+y)      (1)
et
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \ge inf_{x\in F} d(a,x+y)      (2)
-----

Pour le point (1), j'écris que :
Pour tout x\in F et pour tout y\in F, on a x+y\in F (car c'est un ssev) et :
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le d(a,x+y)   

En particulier, c'est vrai pour celui réalisant le inf :
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le inf_{x\in F} d(a,x+y)  

Qu'en pensez-vous ?

PS : j'ai un gros doute car je ne sais pas si c'est bien pour tout x\in F et pour tout y\in F ?

Posté par
mousse42re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 16:07

Salut
Pour continuer l'explication de Zormuche :
On fixe  y\in F


\{d(a,x)\;:x\in F\}=\{d(a,x+y)\; :x\in F\}

Il faut comprendre que x parcourt F, puisque y\in F y+x parcourt F, attention  le x est une variable muette.

pour mieux comprendre, on a :

\{d(a,x)\;:x\in F\}=\{d(a,z+y)\; :z\in F\}

soit \lambda \in \{d(a,x)\;:x\in F\}, il existe x tel que d(a,x)=\lambda

et donc z=x-y\in F, ainsi \lambda=d(a,z+y)\in \{d(a,z+y)\; :z\in F\}

donc \{d(a,x)\;:x\in F\}\subset\{d(a,z+y)\; :z\in F\}, dans l'autre sens c'est encore plus simple.

Posté par
Zormuchere : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 17:45

peut être qu'un exemple plus concret est plus simple à comprendre

pour tout fonction f de R dans R et y un réel fixé, les ensembles \{f(x), x\in\R\}  et  \{f(x+y), x\in\R\} sont égaux

par exemple, \{x^2, x\in\R\}  et  \{(x+7)^2,x\in\R\} sont égaux

Ensuite, si deux ensembles sont égaux, et qu'ils ont une borne inférieure, il va de soi que les deux inf sont égaux

Posté par
luzakre : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 18:04

Citation :
Je ne vois pas pourquoi : \large\rm\displaystyle inf_{a\in A} d(x,a) = inf_{a\in A\cap B_f} d(x,a) ?

Le choix de ton rayon peut convenir. En général on prend plutôt pour rayon de B_f la distance de x à un point de A. Mais ce n'est pas grave.

Tu as ici : A=(A\cap B_f)\cup(A\setminus B_f) et tu montres que les deux ensembles sont non vides et disjoints.
Ensuite tu établis proprement que si  X (ensemble de réels) est la réunion Y\cup Z de deux parties non vides disjointes alors \inf X=\min(\inf Y,\inf Z) .

Posté par
Zormuchere : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 18:39

Milka3

Citation :

En particulier, c'est vrai pour celui réalisant le inf :
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le inf_{x\in F} d(a,x+y)  


l'inf est une généralisation du minimum aux ensembles qui n'ont pas de minimum (par exemple, ]0,1[)
il n'existe pas toujours un "élément qui réalise l'inf"

cela ne nous empêche pas cependant d'écrire l'inégalité que tu as écrite

Posté par
luzakre : Autour de la notion de "inf" 18-12-20 à 07:51

Citation :
tu montres que les deux ensembles sont non vides et disjoints.

Ce n'est pas toujours vrai mais lorsque le deuxième ensemble est vide la propriété demandée est évidente.

Posté par
etniopalre : Autour de la notion de "inf" 18-12-20 à 08:30

     Pour montrer que   \large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) = inf_{x\in F} d(a,x+y)  où a\in E et y\in F  il suffit de montrer que les  les ensembles  A := { d(a , x) │ x   F } et  B :=  { d(a , x + y) │ x F   }  sont égaux  .
Et cela résulte de ce que  F = y + F  ( puisque  F est stable pour  (s , t) s + t et s -s  )  


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