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Autour de la notion de "inf"

Posté par
Milka3
16-12-20 à 22:17

Bonsoir,

je fais un gros blocage sur la notion de "inf". Précisément, j'ai du mal à comprendre les deux égalités suivantes :

Premier point de blocage :
Le cadre : F est un ssev d'un ev normé E. La lettre d désigne une distance.
L'égalité : \large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) = inf_{x\in F} d(a,x+y) a\in E et y\in F.

Dans le membre de gauche, c'est la distance de a à x alors que dans celui de droite c'est celle de a à x+y. D'où provient l'égalité ?

Deuxième point de blocage :
Le cadre : A est une partie fermée non vide d'un espace affine euclidien E. La lettre d désigne une distance.
L'égalité : \large\rm\displaystyle inf_{a\in A} d(x,a) = inf_{a\in A\cap B_f} d(x,a) a\in A et x\in E et B_f désigne une boule fermée.


Dans le membre de gauche, c'est la distance de x à a lorsque ce dernier parcourt A. Dans le membre de droite, c'est la distance de x à a lorsque ce dernier parcourt A\cap B_f D'où provient l'égalité ?

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !

Posté par
Zormuche
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 01:50

Bonjour
ce n'est pas exactement la distance de x à a, c'est la plus petite distance possible de x à a, où x peut être n'importe quel élément de F

mais alors, à y fixé, x+y peut aussi être n'importe quel élément de F (il suffit de soustraire y) donc la plus petite distance entre a et x+y (à y fixé) est la même que entre a et x

En fait, les applications x\mapsto d(a,x)  et  x\mapsto d(a,x+y) sont les mêmes mais à une translation près, une translation de vecteur -y

Posté par
Zormuche
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 02:21

pour la deuxième égalité, j'ai un doute. Je ne connais pas très bien les espaces affines mais il n'y a aucune raison d'avoir l'égalité je pense

Posté par
luzak
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 08:05

Bonjour !
Je crois que tu as dû oublier quelques hypothèses !
Il me semble que la boule B_f doit être de centre a...
Et  il y a des chances que son rayon ne soit pas n'importe quoi !


En faisant un dessin de patates dans le plan tu peux voir facilement que la boule doit rencontrer A...

Posté par
Milka3
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 09:31

Oui, j'ai manqué de précision désolé ! Voici plus d'informations :

x est un élément de E et le rayon r=1+d(x,A)

On considère alors B_f=B_f(x,r)

Je ne vois pas pourquoi : \large\rm\displaystyle inf_{a\in A} d(x,a) = inf_{a\in A\cap B_f} d(x,a) ?

Posté par
Milka3
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 09:38

Zormuche @ 17-12-2020 à 01:50

Bonjour
ce n'est pas exactement la distance de x à a, c'est la plus petite distance possible de x à a, où x peut être n'importe quel élément de F

mais alors, à y fixé, x+y peut aussi être n'importe quel élément de F (il suffit de soustraire y) donc la plus petite distance entre a et x+y (à y fixé) est la même que entre a et x

En fait, les applications x\mapsto d(a,x)  et  x\mapsto d(a,x+y) sont les mêmes mais à une translation près, une translation de vecteur -y


Je comprends globalement l'idée. Mais s'agissant de la rédaction, j'ai plus de mal car je ne sais pas trop qui varie et qui est fixe !

Pour montrer l'égalité, je pensais montrer que :

\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le inf_{x\in F} d(a,x+y)      (1)
et
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \ge inf_{x\in F} d(a,x+y)      (2)
-----

Pour le point (1), j'écris que :
Pour tout x\in F et pour tout y\in F, on a x+y\in F (car c'est un ssev) et :
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le d(a,x+y)   

En particulier, c'est vrai pour celui réalisant le inf :
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le inf_{x\in F} d(a,x+y)  

Qu'en pensez-vous ?

PS : j'ai un gros doute car je ne sais pas si c'est bien pour tout x\in F et pour tout y\in F ?

Posté par
mousse42
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 16:07

Salut
Pour continuer l'explication de Zormuche :
On fixe  y\in F


\{d(a,x)\;:x\in F\}=\{d(a,x+y)\; :x\in F\}

Il faut comprendre que x parcourt F, puisque  y\in F y+x parcourt F, attention  le x est une variable muette.

pour mieux comprendre, on a :

\{d(a,x)\;:x\in F\}=\{d(a,z+y)\; :z\in F\}

soit \lambda \in \{d(a,x)\;:x\in F\}, il existe x tel que d(a,x)=\lambda

et donc z=x-y\in F, ainsi \lambda=d(a,z+y)\in \{d(a,z+y)\; :z\in F\}

donc \{d(a,x)\;:x\in F\}\subset\{d(a,z+y)\; :z\in F\}, dans l'autre sens c'est encore plus simple.

Posté par
Zormuche
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 17:45

peut être qu'un exemple plus concret est plus simple à comprendre

pour tout fonction f de R dans R et y un réel fixé, les ensembles \{f(x), x\in\R\}  et  \{f(x+y), x\in\R\} sont égaux

par exemple, \{x^2, x\in\R\}  et  \{(x+7)^2,x\in\R\} sont égaux

Ensuite, si deux ensembles sont égaux, et qu'ils ont une borne inférieure, il va de soi que les deux inf sont égaux

Posté par
luzak
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 18:04

Citation :
Je ne vois pas pourquoi : \large\rm\displaystyle inf_{a\in A} d(x,a) = inf_{a\in A\cap B_f} d(x,a) ?

Le choix de ton rayon peut convenir. En général on prend plutôt pour rayon de B_f la distance de x à un point de A. Mais ce n'est pas grave.

Tu as ici : A=(A\cap B_f)\cup(A\setminus B_f) et tu montres que les deux ensembles sont non vides et disjoints.
Ensuite tu établis proprement que si  X (ensemble de réels) est la réunion Y\cup Z de deux parties non vides disjointes alors \inf X=\min(\inf Y,\inf Z) .

Posté par
Zormuche
re : Autour de la notion de "inf" 17-12-20 à 18:39

Milka3

Citation :

En particulier, c'est vrai pour celui réalisant le inf :
\large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) \le inf_{x\in F} d(a,x+y)  


l'inf est une généralisation du minimum aux ensembles qui n'ont pas de minimum (par exemple, ]0,1[)
il n'existe pas toujours un "élément qui réalise l'inf"

cela ne nous empêche pas cependant d'écrire l'inégalité que tu as écrite

Posté par
luzak
re : Autour de la notion de "inf" 18-12-20 à 07:51

Citation :
tu montres que les deux ensembles sont non vides et disjoints.

Ce n'est pas toujours vrai mais lorsque le deuxième ensemble est vide la propriété demandée est évidente.

Posté par
etniopal
re : Autour de la notion de "inf" 18-12-20 à 08:30

     Pour montrer que   \large\rm\displaystyle inf_{x\in F} d(a,x) = inf_{x\in F} d(a,x+y)  où a\in E et y\in F  il suffit de montrer que les  les ensembles  A := { d(a , x) │ x   F } et  B :=  { d(a , x + y) │ x F   }  sont égaux  .
Et cela résulte de ce que  F = y + F  ( puisque  F est stable pour  (s , t) s + t et s -s  )  

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