Niveau autre

Autour de la suite de Fibonacci

Posté par inconnu2 (invité) 30-12-04 à 22:36

bonsoir,j'aimeré besoin de votre,qui ci dessus s'il vous plait..

La "suite" des nombres de Fibonacci possède de nombreuses propriétés, à découvrir :

- sur quatre nombres de Fibonacci consécutifs, comparer le produit des deux extrêmes, aux carrés de ceux du milieu.

- comparer le carré d'un des nombres de Fibonacci au produit des deux qui l'encadrent.

aurevoir..

Posté par re : Autour de la suite de Fibonacci 30-12-04 à 23:38

Bonsoir,

J'avoue avoir du mal à décrypter le sens profond de la question.

Posté par re : Autour de la suite de Fibonacci 01-01-05 à 15:10

$F_0=1 \\ F_1=1 \\ F_2=2 \\... \\ \forall n \in {\mathbb N}, \; F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$

$F_0\, F_3 \,- \, F_1\, F_2 = 1*3-1*2=1 \\ F_1\, F_4 \,- \,F_2 \, F_3=1*5-2*3 = -1 \\ F_2\, F_5 \,- \, F_3\, F_4 = 2*8-3*5=1 \\... \\ {\rm hypothese}\;\;, \;\;\forall n \in {\mathbb N}, \; F_n \, F_{n+3} \,- \, F_{n+1}\, F_{n+2}\, =\, (-1)^n$

Ca se montre par récurrence
hérédité :
$\array{ccl$F_{n+1} \, F_{n+4} \,- \, F_{n+2}\, F_{n+3} & \; = \;& F_{n+1} \,( F_{n+2} + F_{n+3}) \,- \,( F_{n} + F_{n+1})\, F_{n+3} \\ & \; = \;& F_{n+1} \, F_{n+2} \,- \, F_{n} \, F_{n+3} \\ & \; = \;& \Large (-1)^{n+1}$

$F_0 F_3 \,- (\, F_2^2- F_1^2) = 1*3-(2^2-1^2)=0 \\ F_1 F_4 \,- (\, F_3^2- F_2^2)=1*5-(3^2-2^2) = 0 \\... \\ {\rm hypothese}\;\;, \;\;\forall n \in {\mathbb N}, \; F_n \, F_{n+3} \,= \, F_{n+2}^2-F_{n+1}^2$

$\forall n \in {\mathbb N}, \;\\ \hspace{150}\array{ccl$F_{n} \, F_{n+3} &\;= \;& ( F_{n+2}-F_{n+1})\, (F_{n+2}+F_{n+1}) \\ & \; = \;& F_{n+2}^2-F_{n+1}^2$

Posté par re : Autour de la suite de Fibonacci 01-01-05 à 15:42

Des deux premiers résultats on déduit :

$F_n \, F_{n+3} \;= \; F_{n+1}\, F_{n+2}\, + \, (-1)^n \; = \; F_{n+2}^2-F_{n+1}^2$
Donc
$\array{ccl$ (-1)^n &\; = \;& F_{n+2}^2-F_{n+1}^2-F_{n+1}\, F_{n+2}\\ &\; = \;& F_{n+2}^2-F_{n+1}(F_{n+1}+ F_{n+2})\\ &\; (-1)^{n+2}= \;& F_{n+2}^2-F_{n+1}\,(F_{n+3} }$

$\Large \forall n \in {\mathbb N}^*\;\; F_n^2 \,- \, F_{n-1}F_{n+1} \;= \; (-1)^{n}$

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Autour de la suite de Fibonacci

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths