Bonsoir.
Voici l'énoncé d'un exercice dont je ne comprend rien!
Exprimez, étant un élément de , en fonction de et de le spectre de la suite .
Que faut-il faire exactement ?
Qu'est-ce qu'un spectre ?
Bonjour,
effectivement ce n'est pas clair.
m_0 on sait pas ce que c'est.
Le chapeau est probablement la transformée de Fourier.
R*[e] on ne sait pas trop ce que c'est.
Le spectre de x est l'ensemble des éléments u tels que x-u.1 ne soit pas inversible.
Il est dit que le spectre de est la limite dans de la suite des classes de fonctions .
Mais je ne vois pas du tout ce que cela signifie.
C'est les exercices que mon prof posent sur un serveur propre à notre université, il faut donc un identifiant pour se connecter!
h je ne vois pas ce qu'il vient faire ici.
En fait, je crois que ça me dit quelque chose ces notations. Est-ce que les fonctions de Haar te disent quelque chose (tu as dû peut-être du voir ça quand vous vous intéressiez à des exemples de bases hilbertiennes) ? Pour ma part, j'avais vu ce genre de choses mais je ne sais plus exactement comment ça marche, alors j'ai regardé ton poly et je suis tombé sur cette fameuse fonction h (page 6) et ça me semble bien être ces fonctions de Haar.
Kaiser
Reprenons, il manques une partit :
Soit une suite de nombres réels (que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par ) et :
le polynôme trigonométrique correspondant ( est donc la transformée de Fourier du filtre digital de réponse impulsionnelle la suite indexée par
L'opération R qui à un signal d'entrée de associe le signal défini par pour
Vérifiez que
Vérifiez que R est un filtre stationnaire cad un opérateur linéaire continu de dans invariant par translation.
Décrire l'opération R^* adjointe de l'opération R.
Je ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par "
?
Ensuite :
Il faut montrer que est une application -linéaire continue du -espace de Hilbert dans lui même.
Pour la linéarité :
(on peut "couper" la somme ?)
si a est un complexe.
On a bien la linéarité.
Mais pour la continuité ?
salut
car h(k)=0 dès que k n'est pas un entier naturel compris entre 0 et M.
Mais cette dernière somme ne comporte qu'un nombre fini de termes, donc cette somme est .
Kaiser
ouin car ce sont aussi des sommes finies : en effet, pour k fixé, h(l-2k)=0 si l-2k n'est pas un entier compris entre 0 et M (les entiers l tels que l-2k est un entier compris entre 0 et M sont en nombre fini).
Kaiser
En résolvant la double inéquation : l-2k est compris entre 0 et M si et seulement si l est compris entre 2k et M+2k. À k fixé, il n'y a qu'un nombre fini de tels entiers.
Kaiser
Ok.
Ce qui implique alors que les sommes et sont finies.
Ce sont des sommes finies donc convergentes, on regarde l'absolue convergence ?
pas besoin, elle le sont automatiquement : on somme encore un nombre fini de termes non nuls, donc c'est clairement asbolument convergent
Kaiser.
oui (ensuite, c'est le même argument : dans la somme, les seuls termes qui sont non nuls sont des termes d'ordre l avec l-2k entre 0 et M et de tels entiers sont en nombre fini).
Kaiser
Ok!
Par contre j'ai obtenu en utilisant Cauchy-Schwarz, Fubini-Tonelli et l'invariance par translation de la mesure de décompte.
C'est bien et non ?
Pour montrer que on regarde :
Il y a un nombre fini de termes dans la somme, d'où le résultat.
Ce qui implique que et donc que et donc que
Ensuite, pour R on a la linéarité mais en ce qui concerne la continuité, je ne vois pas comment procéder ?
comme précisé plus haut, regarde ton message de 10h22 :
R est une application linéaire de dans et tu as montré que tout e,
donc ...
Kaiser
toutafé ! Sauf qu'ici, h peut être nulle, donc C aussi (mais bon, on n'est pas obligé d'imposer la constante nulle pour avoir la continuité).
Kaiser
Je pense que ça veut dire ça :
La translation est l'opération linéaire qui à une suite associe la suite telle que pour tout entier l, . Notons cette opération de translation, alors il faut montrer que pour tout suite e, on a :
Kaiser
OK, je me suis trompé : en fait, la terminologie est un peu malheureuse mais on devrait plutôt dire que r commute avec les translations.
Avec les notations de mon message précédent, l'invariance par translation signifie plutôt :
pour tout entier : on se rend compte rapidement qu'il suffit de le montrer pour , c'est-à-dire :
Kaiser
P.S : je dois m'absenter pendant un peu plus d'une demi-heure. Je reviendrai ensuite, si tu es encore là.
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