Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Autour des espaces vectoriels...

Posté par leparisienfou (invité) 01-01-05 à 19:21

Bonsoir et Bonne année,

La trame de l'exo c'est les suites récurrentes linéaires d'orde 2 avec l'étude des trois cas du discriminant.

E :l'ensemble des SLR d'ordre 2 vérifiant:
un+2=a*un+1+b*un

eq caractéristique: r²=ar+b

Delta >0 => r1 et r2 les solutions distinctes réelles
      
       n       n
1)Mq (R1) et (R2) éléments de E
  
        n    n
2)Mq ((R1),(R2)) est libre puis génératrice de E


auparavant j'ai montrer que E est un ss espace vect de IR espace vectoriel des suites réelles et que si uo=u1=0 alors un=0

Alors si quelqu'un pourrait me guider, qu'il n'hésite pas.. Merci

Posté par minotaure (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 01-01-05 à 19:53

salut
la 1, y'a pas de problemes.
tu prends u(n)=R1^n
et tu montres que u(n+2)=a*u(n+1)+b*u(n)
meme chose pour R2.

2)soit (f,g) une famille d'elements de E.
pour montrer que (f,g) est libre, il suffit de montrer que pour u,v dans R, u*f+v*g=0 => u=0 et v=0.

ici u*(R1^n)+v*(R1^n)=0 (suite nulle)
pour n=0 u+v=0
pour n=1 u*R1+v*R2=0
systeme de deux equations a deux inconnues...

generatrice ?
d'apres 1 les 2 suites sont dans E.
comme E est un espace vectoriel alors Vect((R1^n),(R2)^n) est dans E.
reste a montrer l'autre inclusion.
soit u dans E.
u est difinie par u(n+2)=a*u(n+1)+bu(n)
et u0 et u1.
on cherche c et d dans R tel que u=c*(R1)^n+d*(R2)^n.
n=0 u(0)=c+d
n=1 u(1)=c*R1+d*R2
systeme de deux equations a deux inconnues.

on trouve c et d en fonction de u0 et u1.
donc u est dans Vect...
donc Vect((R1^n),(R2)^n)=E.
donc ((R1^n),(R2^n)) est generatrice.


((R1^n),(R2^n)) est libre et generatrice donc c'est une base.
cardinal de cette base : 2. donc E est de dimension 2 ...
a+

Posté par leparisienfou (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 03-01-05 à 20:47

Salut !
-Je vais te demander une aide particulière.je suis complètemùent dépassé par ce vaste chapitre. J'iamerais savoir les idées essentielles et les outils que je dois utiliser pour répondre à ces idées. en fait savoir quels outils j'ai pour résoudre les exercices sur les ev.


*Dans la suite de l'éxo on me demande toutes les suites un tel que:
uo=0 et u1=1 et un+1=3un+1+2un le problème c'est que je trouve une suite et pas toutes les suites en l'ocurrence un=2^n+3^n

*dans l'étude de delta=0 avec ro solution unique

1)Calculer ro et mq ro different de 0
2)Mq les suites ((ro^n)et (n*ro^n) est éléments de E
3)Mq la famille ((ro^n),n*ro^n)) est libee, génératrice(donner expression explicite de un en fonction de u0 et u1 et r0
4)Trouver ttes suites telles que uo=0,u1=1 et un+2=2un+1-un

est ce la même méthode ?

Posté par minotaure (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 03-01-05 à 23:56

d'apres question prencedente
(R1^n,R2^n) est une base de E.
u est dans E => il existe c et d tel que
u=c*(R1^n)+d*(R1^n)

or pour n=0 => u0=0=c+d
n=1 => u1=1=cR1+dR1.
systeme de deux equations a deux inconnues.
a resoudre.
normalement tu arrives a ce que tu as trouve.

remarque : l'espace est de dimension 2.
si on met 2 contraintes sur la suite (par exemple u(0)=.. et u(1)=...) alors la suite est definie de facon unique.

puis :
1)r²-ar-b=0
delta=0 donc il existe r0 dans R solution double.
on a a=2*r et r^2=-b
donc r=a/2
a t on r=0 ? si r=0 a=0 b=0.
donc pour tout n u(n+2)=0.
la suite v nulle  partout sauf pour n=0 (v0=1)
et la suite w nulle partout sauf pour n=1 (w1=1)
forment une base de E (a verifier)
il faudrait voir si on a des contraintes sur a et b dans ton exo (ex (a,b) different de (0,0))
car si c'est pas precisé on peut tres bien le supposer.
c'est un cas particulier de E mais viable.
a toi de voir l'enoncé de l'exo, moi je ne l'ai pas, a toi donc de verifier.

2) normalement pas de probleme. tu prends u(n)=r0^n.
elle doit verifier la formule :
u(n+2)=a*u(n+1)+b*u(n).
meme chose pour (n*r0^n)
3) ((ro^n),n*ro^n)) est libre ?
pour le montrer soit c et d dans R tel que
c*(r0^n)+d*(n*r0^n)=0 (suite nulle)
il faut montrer que c=0=d.
pour n=0...
pour n=1...

generatrice ?
d'apres 2 Vect(((ro^n)et (n*ro^n)) est dans E.
reste l'autre inclusion : meme chose que dans mon premier post.

donner expression explicite de un en fonction de u0 et u1 et r0

u(n)=c*(r0)^n+d*n*(r0)^n
pour n=0 => u(0)=c
pour n=1 => c*r0+d*r0=u(1)
donc d=... (car r0 different de 0 d'apres 1)
4.
on veut toutes les suites ?
equation caracteristique r^2=2*r-1
donc r^2-2r+1=0 => discriminant nul.soit r0 la solution double r0=1.
on est dans le cas abordé precdemment.
INUTILE de refaire le raisonnement (enfin si tu veux le faire, tu peux mais bon...)
d'apres la question 3 :
u(n)=c*(r0)^n+d*n*(r0)^n
pour n=0 => u(0)=c=0
pour n=1 => c*r0+d*r0=u(1)=1.
donc d=1.
donc pour tout n u(n)=n*(1)^n=n.

verification :
************

soit u definie sur N par u(n)=n.
u(0)=0
u(1)=1
u(n+2)=n+2
2*u(n+1)-u(n)=2*(n+1)-n=n+2.
ok.

a+

Posté par minotaure (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 04-01-05 à 02:19

petite rectification :

j'ai dis :

la suite v nulle  partout sauf pour n=0 (v0=1)
et la suite w nulle partout sauf pour n=1 (w1=1)
forment une base de E (a verifier)

c'est pour E avec a=0 et b=0.

Posté par leparisienfou (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 12-01-05 à 16:43

Re-salut quels sont les difficultés que l'on peut rencontrer lorsqu'on mélange espace vectoriel et polynomes ? Merci..

Posté par leparisienfou (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 23-01-05 à 15:51

Bon Dimanche,


C'est juste pour une question donc je n'ouvre pas un nouveau sujet :
Montrer que le produit de deux matrices magiques de taille n*n est une matrice Mag n (IK)


merci d'avance...


ps: A Est dit matrice magique si les 2n nombres Somme de k=1 à n de Aik et Somme de K=1 à n de Akj sont égaux.

Posté par Emma (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 23-01-05 à 16:51

Salut leparisienfou

Je note (M)_{i,j} pour désigner le terme situé à la ième ligne et jème colonne de la matrice M.

Je suppose que A et B sont des matrices magiques de dimensions n n

Alors A.B est une matrice de dimensions n n telle que, pour tous i et j dans [[ 1 ; m ]] :
(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k}.(B)_{k,j}

Fixons i dans [[ 1 ; m ]] :
\Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{j=1}^n%20\;[\Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k}.(B)_{k,j}]

Donc \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;[\Bigsum_{j=1}^n%20\;(A)_{i,k}.(B)_{k,j}] (car ce sont des sommes finies)

Donc \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;[(A)_{i,k}.\Bigsum_{j=1}^n%20\;(B)_{k,j}] (car (A)_{i,k} est indépendant de j)

Bon, là, mon problème, c'est que je n'ai pas très bien compris ta définition de matrice magique (tu fais une somme sur k variant de 1 à n, mais...qui sont i et j ? Je serais bien tentée de dire que l'égalité vaut quels que soient i et j, mais... j'attends confirmation)

Mais je suppose que, d'après cette définition, et sachant que B est une matrice magique, on peut faire quelque chose avec le nombre X = \Bigsum_{j=1}^n%20\;(B)_{k,j}
(si dans ta définition, il y a bien 'quels que soient i et j, alors c'est que ce nombre X est indépendant de i et j... c'est pas plus mal )

Et l'égalité \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;[(A)_{i,k}.\Bigsum_{j=1}^n%20\;(B)_{k,j}]
devient alors \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;[(A)_{i,k}.X]

Donc, en factorisant par X : \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = X . \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k}

A nouveau, je te laisse voir ce que tu peux dire du nombre Y = \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k} à partir de ta définition... (en espérant qu'il soit indépendant de i et j)

Bref, on arrive à l'égalité \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = X . Y.
Calcule de même (toujours pour i fixé) \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{j,i} : si tu trouves X . Y... c'est gagné !



Désolée de ne pas pouvoir t'aider davantage...
Si dans ta définition, il y a bien 'quels que soient i et jdans [[1 ; n]], alors mes calculs permettent de conclure.
Mais sinon, n'hésite pas à redemander, en complétant ta définition

@+
Emma
lamarseillaisefolle

Posté par Emma (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 23-01-05 à 18:32

En relisant le problème, je ne vois pas pourquoi j'ai douté :
Si A est magique, alors c'est qu'il existe Y appartenant à tel que, pour tous i et j de [[1 ; n]],  Y = \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{k,j}

Et si B est magique, alors c'est qu'il existe X appartenant à tel que, pour tous i et j de [[1 ; n]],  X = \Bigsum_{k=1}^n%20\;(B)_{k,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;(B)_{i,k}

D'après les calculs que j'ai fait, on a :
pour tout i de [[1 ; n]] \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = X . Y

Il reste à faire la seconde partie des calculs : celle qui permet de démontrer que :
pour tout j de [[1 ; n]] \Bigsum_{i=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} = X . Y

@+
Emma

Posté par leparisienfou (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 23-01-05 à 22:11

Waouuuuuuh...

Ton explication m'a rendu fou, je l etais deja avant tu me diras , j'arrive pas à suivre ton raisonnement..

Une matrice magique c'est en faite une matrice tout ce qui a de normale si ce n'est qu'en faisant la somme des colonnes, des lignes et de la diagonale, on tombe sur le même résultat...jusque la on est daccord ça c'est fait, j'aurais au moins appris ce que c'était une matrice magique...
Mais ton hypothese c est A*B matrice magique ou jai vraiment rien compris

Les i et j parcourant 1,2,....n

merci de ta patience a mon egard...

Posté par Emma (invité)re : Autour des espaces vectoriels... 07-02-05 à 13:41

Coucou

Désolée de t'avoir embrouillé :
Je vais reprendre, en essayant d'être plus claire...

----------------
Bon, déjà, on est d'accord pour la définition de matrice magique, et tu as dû comprendre ma notation : \large (M)_{i,j} pour le coefficient de la matrice M situé à la ie ligne et je colonne.
(et donc, lorsque je dis '\large (AB)_{i,j}', je fais référence au coefficient situé à la ie ligne et je colonne de la matrice produit AB).

----------------
Ensuite, concernant la démarche à suivre :
On veut montrer que le produit de deux matrices magiques de taille n n est également une matrice magique de taille n n.

Donc on se donne A et B deux matrices magiques de taille n n.
Et on va montrer que le produit A.B est une matrice magique... donc on ne le sait pas ==> on veut le montrer.


Allez ! Je me lance :
----------------

Soit B une matrice magique de taille n n.
Par définition, c'est qu'il existe un nombre réel X tel que, pour tous i et j de [[1 ; n]],
\red X = \red \Bigsum_{k=1}^n%20\;(B)_{k,j} <font size=1>(somme des coefficients de la je colonne, pour j quelconque dans [[1;n]])</font> = \red \Bigsum_{k=1}^n%20\;(B)_{i,k} <font size=1>(somme des coefficients de la ie ligne, pour i quelconque dans [[1;n]])</font>

De même, soit A une matrice magique de taille n n.
Il existe donc un nombre réel Y tel que, pour tous i et j de [[1 ; n]],
\red Y = \red \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k} <font size=1>(somme des coefficients de la ie ligne, pour i quelconque dans [[1;n]])</font> = \red \Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{k,j} <font size=1>(somme des coefficients de la je colonne, pour j quelconque dans [[1;n]])</font>

------
<font color=blue>Remarque en dehors de la démonstration, pour savoir que que l'on veut faire :
On veut montrer que la matrice produit AB est une matrice magique. Pour cela, on va montrer deux choses :


d'une part que, pour tout i de [[1 ; n ]] <font size=1>(c'est-à-dire pour toute ligne de la matrice A.B)</font>,
\Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} <font size=1>(c'est-à-dire la somme des coefficient de la ie ligne de AB)</font> est égal à un nombre fixe <font size=1>(le nombre XY dans mes messages précédents)</font>


et d'autre part que, pour tout j de [[1 ; n ]] <font size=1>(c'est-à-dire pour toute colonne de la matrice A.B)</font>,
\Bigsum_{i=1}^n%20\;(A.B)_{i,j} <font size=1>(c'est-à-dire la somme des coefficient de la je colonne de AB)</font> est égal à un nombre fixe (et si possible, le même nombre fixe que pour les lignes )

Bref, il nous faut donc calculer :
-->  pour i fixé dans [[1 ; n ]], \blue \Bigsum_{j=1}^n%20\;(A.B)_{i,j}
--> pour j fixé dans [[1 ; n ]], \blue \Bigsum_{i=1}^n%20\;(A.B)_{i,j}

Reprenons :</font>, en gardant en tête la formule :
\blue (M.N)_{i,j} <font size=1>(le coefficient de la ie ligne, je colonne de la matrice produit M.N)</font> = \blue \Bigsum_{k=1}^n \;(M)_{i,k}\;.\;(N)_{k,j}

Et donc ici, \red (A.B)_{i,j} = \red \Bigsum_{k=1}^n \;(A)_{i,k}\;.\;(B)_{k,j}
----------------

1. soit i fixé dans [[1 ; n ]] :
\Bigsum_{j=1}^n \;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{j=1}^n%20\;[\Bigsum_{k=1}^n%20\;(A)_{i,k}.(B)_{k,j}] <font size=1>(simplement en appliquant la formule rouge précédente)</font>

Donc <font size=1>(en échangeant l'ordre des sommes finies)</font>,
\Bigsum_{j=1}^n \;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n%20\;[\Bigsum_{j=1}^n%20\;(A)_{i,k}.(B)_{k,j}] </font>

Donc <font size=1>(en sortant de la seconde somme le terme A_{i,k}  qui est indépendant de j)</font>,
\Bigsum_{j=1}^n \;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n \;[\;(A)_{i,k}\;.\;[\Bigsum_{j=1}^n%20\;(B)_{k,j}]\;] </font>

Donc <font size=1>(en utilsant le fait que B est une matrice magique, et que donc, pour tout k, la somme des coefficients de la ke ligne est égale à X)</font>,
\Bigsum_{j=1}^n \;(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n \;[\;(A)_{i,k}\;.\;[X]\;]

Donc <font size=1>(en factorisant par X)</font>,
\Bigsum_{j=1}^n \;(A.B)_{i,j} = X\;.\;\Bigsum_{k=1}^n \;(A)_{i,k}

Donc <font size=1>(en utilsant le fait que A est une matrice magique, et que donc, pour tout i, la somme des coefficients de la ie ligne est égale à Y)</font>,
\Bigsum_{j=1}^n \;(A.B)_{i,j} = X\;.\;Y

Et de un ! La somme des coefficient de toutes les lignes (puisque c'est pour tout i de [[ 1 ; n ]]) de la matrice produit A.B est égal à X.Y (un nombre réel fixe)!

Reste à faire de même pour la somme des coefficient de toutes les colonnes (c'est-à-dire pour tout j de [[ 1 ; n ]]) de la matrice produit A.B est égal à X.Y (le même nombre réel fixe)

----------------

2. soit j fixé dans [[1 ; n ]] :
\Bigsum_{i=1}^n \;(A.B)_{i,j} = ...

Je te laisse rédiger ce calcul, histoire que tu t'assures d'avoir compris ma démarche.

Si tu as encore des doutes sur mon raisonnement, n'hésite pas

@+
Emma


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !