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[Autre]_Morphing cercle vers carré
Bonjour,
En voyant de superbes morphings très réalistes, je me suis posé la question du "comment" et, pour commencer petit, j'ai tenté de transformer un cercle en un carré.
Pour simplifier la modélisation du problème, j'ai considéré le premier quadrant avec :
¤ un quart de cercle, en bleu, de rayon unitaire, en position initiale, à t = 0,
¤ un quart de carré 6x6, en vert, en position finale, à t = T.
et je suppose que le cercle se transforme en carré de façon régulière en un temps T.
Voici 3 courbes intermédiaires, rouges, pour t=T/4, t=T/2 et t=3T/4 :
![[Autre]_Morphing cercle vers carré](img/forum_img/0200/forum_200941_1.gif)
Je bute pour trouver une expression y = f(x), en fonction du paramètre t,
Pour t = T/2, j'ai abouti à :
¤ x(a) = (3 + sin(a))/(2tan(a))
¤ y(a) = (3+sin(a))/2
¤ pi/4 < a < pi/2
![[Autre]_Morphing cercle vers carré](img/forum_img/0200/forum_200941_2.gif)
( nota : le t des expressions de sine qua none est l'angle a ci-dessus )
Est-il possible d'exprimer y en fonction de x, avec t comme paramètre, éventuellement en ne considérant que la partie du graphe horizontale ( pi/4 < a < pi/2 ) ?
L'autre question sur laquelle je bute est d'exprimer, en fonction de t variant entre 0 et T, le nombre dérivé à gauche du point At
Je sens bien qu'il doit varier entre -1 et 0 quand t varie entre 0 et T mais peut-on exprimer :
(dy/dx)( a -> pi/4+ ) = f(t) ?
merci
Nota
Les courbes rouges pour t=T/4, t=T/2 et t=3T/4 ne sont pas "réalistes" car elles sembles dérivables en At...
Je les ai réalisées, sur SQN, avec des courbes de Bézier juste pour illustrer le propos...
Bonjour mika
Je ne sais pas si je réponds à ta question, mais voici une proposition:
Les courbes d'équation xn+yn=1, pour n tendant vers l'infini, démarrent pour n=2 du cercle de rayon 1 et tendent vers le carré de rayon 1. Comme tu veux faire varier aussi le rayon, il suffit de prendre quelque chose du genre xn+yn=un en choississant un astucieusement.
Alors voici un essai plutôt raté de représentation paramétrique dans un quart de cercle des fonctions
![[Autre]_Morphing cercle vers carré](img/forum_img/0200/forum_200941_3.gif)
bonjour Camélia
J'ai un doute sur ce que tu proposes car j'ai la quasi-certitude que la fonction que je recherche dans le premier quadrant n'est pas dérivable pour les points de la première bissectrice
Merci en tout cas de t'y être penchée, et si tu as d'autres propositions ou axes de recherches, n'hésite pas...
Je n'ai du mal comprendre ce que tu appelles "se transforme de manière régulière". Mais des fonctions dérivables, c'est mieux, non ?
C'est ce que croyais au début, comme toi 
Je rappelle le but : c'est de transformer un cercle en un carré; on peut imaginer qu'on "gonfle", en quelque sorte, le cercle initial pour que, à l'issue d'un temps T, il se transforme en carré
Ainsi, on conçoit qu'il va y avoir des rapports différents d'agrandissements selon des axes polaires pour l'angle a tel que 0 < a < pi/2
Le cercle, lui, n'a pas de souci de continuité de dérivée; pour les coins du carré, eux, c'est nécessairement discontinu
Je cherchais à voir, au tout début de ma réflexion, si cette transformation rendrait la "forme" non dérivable dès le début ou si la cassure n'apparaîtrait que comme une limite, vers le point AT(3,3)
est-ce que j'ai pu être plus clair dans ma description ?
le "se transforme de manière régulière" peut signifier que si à t=0 le point A est en A0 et qu'à t=T A se trouve en AT
les points intermédiaires seront répartis "linéairement" entre ces deux points extrêmes
Oui, je vois ce que tu dis, mais ce que je te propose c'est une famille qui reste dérivable pour tout n... C'est bien sur théorique et je ne sais pas si elle est intéressante pratiquement.
Camélia
je suis d'accord avec ta famille de fonction y = ( 1 - x^n)^(1/n)
SQN en donne la représentation :
![[Autre]_Morphing cercle vers carré](img/forum_img/0200/forum_200941_4.gif)
en revanche, la notion de "déformation régulière dans le temps" est difficilement paramétrable
Joli! tu te sers mieux que moi de SQN. Bien sûr si tu veux les "gonfler" il suffit d'un coefficient devant.
oui mais l'ennui du coef devant, k, c'est que je passe tjs d'un cercle de rayon k à un carré de côté 2k
ce que je désire faire, c'est passer d'un cercle de rayon 1 à un carré 3x3...
2) prends quelque chose du genre 3-(4/p) ce qui est plutôt lent mais assez régulier.
Bonjour
l'histoire de "se transforme de manière régulière", ça me rappelle vaguement les transformations conformes, non ? (dont j'ai bien peur d'avoir tout oublié sauf le nom ....)
Hello
J'ai pu aller un peu plus loin, voici les différentes transformations obtenues à T/8, T/4, T/2 et 3T/4 :
![[Autre]_Morphing cercle vers carré](img/forum_img/0200/forum_200941_5.gif)
Les représentations sont en x(t); y(t) selon :
![[Autre]_Morphing cercle vers carré](img/forum_img/0200/forum_200941_6.gif)
donc, pour être plus clair concernant ma demande initiale, le problème se ramène simplement à :
En ayant :
m : paramètre variant entre 0 et 1
t : la variable angulaire variant entre 0 et pi/4
xm(t) = (1 - m).cos(t) + 3m
ym(t) = (1 - m).sin(t) + 3m.tan(t)
Est-il possible d'exprimer y = fm(x) ?
Merci pour votre réflexion
Juste pour uper aussi! et pour dire bonjour!
Les transformations conformes conservent les angles! donc pas grand chose à voir avec ton problème...
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