Niveau Master

Banach-Steinhaus

Posté par
WAMPDID 28-11-10 à 14:29

Bonjour à tous
Voici mon exercice:

Soit (an) une suite de nombres complexes telle que pour toute suite (bn) l2(N), la série anbn converge.
A l'aide du théorème de Banach-Steinhaus montrer que (an) l2(N)

Je ne suis pas du tout a l'aise avec tous les theoremes de Banach et je ne vois pas comment resoudre cet exercice.
ça serait gentil de m'aider...

Posté par re : Banach-Steinhaus 02-12-10 à 21:51

Bonjour WAMPDID,

Déjà on énonce le théorème de Banach-Steinhaus:

Citation :
Soit $E$ un espace de Banach et $F$ un espace vectoriel normé. On considère une famille $(f_i)_{i \in I}$ d'applications linéaires continues de $E$ dans $F$ . On suppose que cette famille est ponctuellement bornée, c'est-à-dire :

$\forall x \in E, \ \sup_{i \in I} \|f_i(x)\| < + \infty$

Alors $(f_i)_{i \in I}$ est uniformément bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante $K$ telle que :

$\forall i \in I, \ ||f_i|| \leq K$

Je t'invite à regarder cette page (d'où est tiré l'énoncé) pour plus de précisions

.

On considère la suite d'application linéaire, pour $i \in \mathbb{N}$ :

$f_i \ : \ (b_n) \mapsto \bigsum_{k=0}^i a_k b_k$ .

Vérifions déjà que cette suite est ponctuellement bornée, c'est à dire, que pour toute suite $(b_n) \in L^2 ( \mathbb{N} )$ (le $x$ dans l'énoncé du théorème, $E$ étant $L^2 ( \mathbb{N} )$ ), on a que

$\sup_{ i \in \mathbb{N}} | f_i ( (b_n) ) | < + \infty$ .

Un $(b_n)$ étant donné, $f_i( (b_n) )$ est la somme partielle d'une série convergente (par hypothèse). Donc les $f_i ( (b_n) )$ forment une suite convergente et sont donc bornées en $i$ (je rappelle que $(b_n)$ est fixé). Ainsi la condition d'être ponctuellement bornée est satisfaite. Et donc par application du théorème de Banach-Steinhaus, il existe une constante $K$ telle que:

$\forall i \in I, \ ||f_i|| \leq K$ .

Maintenant, il s'agit de savoir ce que sont les normes des $f_i$ . On a:
$\\ | f_i ( (b_n) ) | = | \bigsum_{k=0}^i a_k b_k | \le \bigsum_{k=0}^i | a_k b_k | \le (\bigsum_{k=0}^i {| a_k |}^2)^{1/2} (\bigsum_{k=0}^i {| b_k |}^2)^{1/2} \le (\bigsum_{k=0}^i {| a_k |}^2)^{1/2} || (b_n) ||_{ L^2 ( \mathbb{N} )}$ ,

en utilisant respectivement l'inégalité triangulaire, Cauchy-Schwarz et le fait que $(b_n)$ soit dans $L^2 ( \mathbb{N} )$ . On a donc une inégalité évidente faisant intervenir la norme de $f_i$ :

$|| f_i || \le (\bigsum_{k=0}^i {| a_k |}^2)^{1/2}$ .

L'intérêt est de montrer qu'on a en fait égalité (l'inégalité qu'on s'apprête à montrer est en fait largement suffisante). Si on considère la suite de $L^2 ( \mathbb{N} )$ définie par (pour chaque $i$ ): $c_n = \overline{a_n} \text{ pour } n \le i \text{ et } 0 \text{ sinon }$ , alors on réalise l'égalité:
$\\ | f_i ( (c_n) ) | = (\bigsum_{k=0}^i {| a_k |}^2)^{1/2} || (c_n) ||_{ L^2 ( \mathbb{N} )}$ .

En effet,

$| f_i ( (c_n) ) | = | \bigsum_{k=0}^i a_k c_k | = | \bigsum_{k=0}^i a_k \overline{a_k} | = | \bigsum_{k=0}^i {|a_k |}^2 | = \bigsum_{k=0}^i {|a_k |}^2 = {( \bigsum_{k=0}^i {|a_k |}^2 )}^{1/2} {( \bigsum_{k=0}^i {|a_k |}^2 )}^{1/2} = {( \bigsum_{k=0}^i {|a_k |}^2 )}^{1/2} || (c_n) ||_{ L^2 ( \mathbb{N} )}$ .

Vu que la majoration lipschitzienne est atteinte, on a bien que:

$|| f_i || = (\bigsum_{k=0}^i {| a_k |}^2)^{1/2}$ , pour chaque $i$ .

Vu que (par Banach-Steinhaus), $\forall i \in I, \ ||f_i|| \leq K$ et que la limite de $||f_i||$ est précisément la norme $L^2$ de $(a_n)$ , on obtient bien que la norme $L^2$ de $(a_n)$ est finie, autrement dit que $(a_n)$ est dans $L^2$ .

Posté par re : Banach-Steinhaus 27-09-12 à 10:26

Bonjour, j'aimerais quelques précisions sur ton corrigé :

-Comment sais tu que fi est bien une application linéaire continue de l2 dans C?
-Comment sais tu que ta suite cn est dans l2?

Merci.

Posté par re : Banach-Steinhaus 27-09-12 à 15:02

Bonjour aliaspopo,

1) C'est cette inégalité qui permet de le dire: | $| f_i || \le (\sum_{k=0}^i {| a_k |}^2)^{1/2}$ . Il est vrai qu'il aurait mieux valu le dire avant pour préciser que les applications linéaires sont bien continues et que le théorème s'applique bien...

2) A $i$ fixé, le suite $c_n$ est nulle pour toutes les valeurs de $n$ sauf un nombre fini (c'est la définition de $c_n$ ). Elle a donc de très fortes chances d'être $l^2$ .

Cordialement

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