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Niveau terminale
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Barycentre

Posté par
matheux14 09-09-20 à 21:10

Bonsoir ,

Merci d'avance.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=a et AC=2a , a > 0 .

I désigne le milieu de [AC] et G le barycentre du système { (A , 3) ; (B, -2 ) ; (C , 1)}.

1-a) Construire le point G et préciser la nature du quadrilatère ABIG.

b) Exprimer en fonction de a les distances GA , GB et GC.

2) À tout point M du plan , on associe le nombre réel f(M)=3MA²-2MB²+MC².

a-) Exprimer f(M) en fonction de MG et de a.

b-) Déterminer et construire l'ensemble (Γ) des points M du plan tels que f(M)=2a².

3) À tout point M du plan , on associe le nombre réel h(M)=3MA²-2MB²-MC².

a-) Démontrer qu'il existe un vecteur \vec{u} tel que h(M)=\vec{MB}.\vec{u}-2a².

On désigne par (∆) l'ensemble des points points M du plan tels que : h(M)=-2a².

b-) Vérifier que les points I et B appartiennent à (∆) .

c-) Préciser la nature de cet ensemble et le construire.

4) (∆) et  (Γ)  sont sécants en deux points : E et F.

Démontrer que les triangles GEC et GFC sont équilatéraux.

Réponses

1-a) *G=bar {( A, 3 ) ; (B, -2) ; (C, 1)}

Donc 3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}.

3\vec{GA}+2\vec{BG}+\vec{GC}=\vec{0}

3\vec{GA}+3\vec{BC}=\vec{0}

3\vec{GA}=-3\vec{BC}

\vec{AG}=\vec{BC}.

* \vec{AG}=\vec{BC} donc le quadrilatère non croisé ABCG est un parallélogramme.

Barycentre

Alors j'ai pensé à une erreur de la part de l'énoncé au niveau du quadrilatère ABIG

1-b)GC=AB=a

GA=CB=\sqrt{a²+2a²}=a\sqrt{5}

Et GC=a.

On a GA=a√5 , GB=a√2 et GC=a.


2-a) Pour tout point M du plan , on a f(M)=3MA²-2MB²+MC².

3-2+1≠0

G=bar {(A,3) ; (B,-2) ; (C,1)} d'où f(M)= 2MG²+3GA²-2GB²+GC²

f(M)=2MG² +15a²-4a²+a²

f(M)=2MG²+12a²

b) Pour tout point M du plan , f(M)=2a² \iff 2MG²+12a²=2a²

\iff 2MG²=-10a²

\iff MG²=-5a²

Impossible !! Peut être une autre erreur de la part de l'énoncé .

Posté par
Priamre : Barycentre 09-09-20 à 21:39

Bonsoir,
1.a) Ton calcul n'est pas bon. Essaye de calculer le vecteur GA en fonction des éléments du triangle ABC.

Posté par
matheux14re : Barycentre 09-09-20 à 22:03

Ok ,

* \vec{AG}=-\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}

\vec{AG}=\vec{BA}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}

\vec{AG}=\dfrac{3}{2}\vec{BC}.



*G=bar {( A, 3 ) ; (B, -2) ; (C, 1)}

Donc 3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}.

3\vec{GA}+2\vec{BG}+\vec{GC}=\vec{0}

3\vec{GA}+3\vec{BC}=\vec{0}

3\vec{GA}=-3\vec{BC}

\vec{AG}=\vec{BC}.

Je ne vois pas d'erreur..

Et s'il n'y a pas d'erreur vraiment , pourquoi devrais je choisir la 1ere méthode ?

Posté par
Priamre : Barycentre 09-09-20 à 22:24

AG n'est pas égal à 3/2 BC (vecteurs).

Posté par
matheux14re : Barycentre 09-09-20 à 22:58

Je ne vois pas où j'ai fait une erreur ..

Si tu peux m'indiquer

Posté par
PLSVUre : Barycentre 09-09-20 à 23:08

Priam étant déconnecte
tu as fait la même  erreur dans les deux méthode

\vec{AG}=\vec{BA}+\dfrac{1}{2}\vec{AC} juste

\vec{AG}=\dfrac{3}{2}\vec{BC}. faux


3\vec{GA}+2\vec{BG}+\vec{GC}=\vec{0} juste

3\vec{GA}+3\vec{BC}=\vec{0} faux


    

Posté par
matheux14re : Barycentre 09-09-20 à 23:14

\vec{BA}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}=\dfrac{1}{2}\vec{BC}  ?

Posté par
PLSVUre : Barycentre 09-09-20 à 23:20

Non

Posté par
matheux14re : Barycentre 09-09-20 à 23:40

Ah oui , çà va faire IB (vecteur)

Posté par
PLSVUre : Barycentre 10-09-20 à 07:09

attention
I milieu de [AC}
\dfrac{1}{2}\vec{AC} =........
\vec{BA}+........=....

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 08:11

Oups , désolé ..

\dfrac{1}{2}\vec{AC} =\vec{AI}
\vec{BA}+\vec{AI} = \vec{BI}.

C'était une erreur que je fesais fréquemment ..

Alors pour avoir une idée claire là dessus :

3\vec{BA}+\vec{IB}=4 \vec{IA}

Non ?

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 09:24

Non.
3BA + IB = 2BA + BA + IB = 2BA + IA .

Pour revenir à la 1ère question, tu as écrit à 22h03   AG = BA + 1/2 AC .
Cette relation vectorielle est juste et te permet de construire le point G.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 09:39

Ah d'accord  

Voilà Barycentre

ABIG est un parallélogramme car \vec{IB}=\vec{AG}

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 09:48

Au vu de cette figure, le point G  correspondrait à  AG = AB + 1/2 CA . . . .

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 09:54

Oui , AG = AB + 1/2 CA = IB

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 10:15

Mais non, c'est  AG = BA + 1/2 AC !

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 10:21

Ah oui , çà va faire AG=BA +AI =BI c'est bien ce que j'ai trouvé à 08h 11

Barycentre

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 10:44

Exact.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 17:17

\vec{AG}=\vec{BI} donc le quadrilatère ABIG est un parallélogramme.

1-b) On a ABIG est un parallélogramme ,

Donc \vec{AG}=\vec{BI} ==> AG=BI.

*I étant le milieu de [AC] , AI=IC =AB et [AI] [AB] en A.

Donc IB=a\sqrt{2}.

*  GB=GJ+JB et GJ=JB si J est le centre de ABIG.

D'où J \in [AC].

Donc le triangle JAB est rectangle en A.

JB=\sqrt{a²+\frac{a²}{2})}

JB=a\sqrt{\frac{3}{2}}

Et par suite GB = 2a\sqrt{\frac{3}{2}}.

* I \in [AC] , le triangle GIC est rectangle isocèle en I.

GC= a\sqrt{2}

On a donc GA= a\sqrt{2} , GB=2a\sqrt{\frac{3}{2}} et GC= a\sqrt{2}.

2)

a-) Pour tout M du plan , f(M)=3MA²-2MB²+MC².

Or G=bar {(A, 3) ; (B , -2) ; (C, 1)}

Donc f(M)=2MG²+3GA²-2GB²+GC²

=2MG²+6a²-12a²+2a²

f(M)=2MG²-4a²

b-) f(M)=2a² \iff 2MG²-4a²=2a²

MG²=3a²

MG=a\sqrt{3}.

3-a) Pour tout M du plan h(M)=3MA²-2MB²-MC²

3-2-1=0.

Le vecteur \vec{u}=3\vec{MA}-2\vec{MB}-\vec{MC} est indépendant du point M.

h(M)=-2\vec{u}+3(\vec{MB}+\vec{BA})²-2MB²-(\vec{MB}+\vec{BC})²

h(M)= -2\vec{u}+3(MB²+2\vec{MB}.\vec{BA}+BA²)-2MB²-(MC²+2\vec{MC}.\vec{CA}+CA²)}

h(M) =-2u+3MB²+6\vec{MB}.\vec{BA}+3BA²-2MB²-MC²-2\vec{MC}.\vec{CA}+CA²

h(M) =-2\vec{u}+2\vec{MB}.(3\vec{BA}-\vec{CA})+3BA²+CA²+3MB²-2MB²-MC²

h(M)=-2\vec{u}+2\vec{MB}.(2\vec{BA}+\vec{BC})+7a²+MB²-MC².

Je suis bloqué ..

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 19:09

1.b) GB est faux.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 19:41

*  GB=GJ+JB et GJ=JB si J est le centre de ABIG.

D'où J \in [AC].

Donc le triangle JAB est rectangle en A.

JB=\sqrt{a²+\frac{a²}{4})}

JB=a\sqrt{\frac{5}{4}}

Et par suite GB = 2a\sqrt{\frac{5}{4}}.

2)

a-) Pour tout M du plan , f(M)=3MA²-2MB²+MC².

Or G=bar {(A, 3) ; (B , -2) ; (C, 1)}

Donc f(M)=2MG²+3GA²-2GB²+GC²

=2MG²+6a²-8×5/4 a²+2a²

f(M)=2MG²+6a²-10a²+2a²

f(M)=2MG²-2a²


b-) f(M)=2a² \iff 2MG²-2a²=2a²

MG²=4a²

MG=2a

(Γ) est donc le cercle de centre G et de rayon 2a.

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 19:52

1.b) GB est maintenant juste, mais son expression peut être simplifiée.
2.a) f(M) : exact.
b) Vérifie MG.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 19:59

Ah oui

2MG²=4a²

MG=2a²

MG = a\sqrt{2}

(Γ) est donc le cercle de centre G et de rayon a\sqrt{2}.

(Γ) passe donc par les points A et C.

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 20:32

Oui.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 20:35

Citation :
3-a) Pour tout M du plan h(M)=3MA²-2MB²-MC²

3-2-1=0.

Le vecteur \vec{u}=3\vec{MA}-2\vec{MB}-\vec{MC} est indépendant du point M.

h(M)=-2\vec{u}+3(\vec{MB}+\vec{BA})²-2MB²-(\vec{MB}+\vec{BC})²

h(M)= -2\vec{u}+3(MB²+2\vec{MB}.\vec{BA}+BA²)-2MB²-(MC²+2\vec{MC}.\vec{CA}+CA²)}

h(M) =-2u+3MB²+6\vec{MB}.\vec{BA}+3BA²-2MB²-MC²-2\vec{MC}.\vec{CA}+CA²

h(M) =-2\vec{u}+2\vec{MB}.(3\vec{BA}-\vec{CA})+3BA²+CA²+3MB²-2MB²-MC²

h(M)=-2\vec{u}+2\vec{MB}.(2\vec{BA}+\vec{BC})+7a²+MB²-MC².

Je suis bloqué ..

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 22:09

3.a) Tu ferais mieux de partir de l'expression de  h(M) = 3MA² - 2MB² -MC²  et de la modifier pour lui donner la forme de l'expression   h(M) = MB. - 2a² :
h(M) = 3(MB + BA)² + . . . . etc.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 22:13

Quand est ce qu'on.lui donne cette forme ?

Pourquoi est ce que je devrais le faire ?

Posté par
Priamre : Barycentre 10-09-20 à 22:24

Pour faire apparaître, dans l'expression de départ de h(M), un vecteur en produit scalaire avec le vecteur MB, qui sera donc le vecteur dont on demande de démontrer l'existence.

Posté par
matheux14re : Barycentre 10-09-20 à 22:38

Je ne comprends pas , on me demande de démontrer l'existence ?

Si possible des cas en général ..

Posté par
matheux14re : Barycentre 11-09-20 à 09:30

Bonjour

Posté par
PLSVUre : Barycentre 11-09-20 à 09:52

Bonjour,
As-tu un cours sur les lignes de niveaux  ?
clique sur ce lien

Posté par
matheux14re : Barycentre 11-09-20 à 10:03

Bien sûr ..

Vous n'avez pas compris ma question ..

Quand on est à la forme aMA² - bMB² +cMC²   par exemple ,

Où a+b+c=0

Quelles sont les chemins possibles pour aboutir à l'ensemble recherché ?

On introduit le milieu X de [BC] ?

On introduit le sommet l'un des sommets du triangle ABC ?

...

Et pourquoi devrait on le faire ?

Posté par
PLSVUre : Barycentre 11-09-20 à 10:25

3) À tout point M du plan , on associe le nombre réel h(M)=3MA²-2MB²-MC².

a-) Démontrer qu'il existe un vecteur \vec{u} tel que h(M)=\red\vec{MB}.\vec{u}-2a²
en premier
introduire   le point B dans l'expression donnée h(M)=3MA²-2MB²-MC² (comme te l'a indiqué Priam
   tu la calcules ( voir l'exercice que tu as déjà fait où le ) était donné , dans cet exercice tu dois le trouver  sans rajouter de nouveaux points en utilisant les données de l'exercice en particulier
tex]3\vec{GA}-[/tex] \red2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

Posté par
PLSVUre : Barycentre 11-09-20 à 10:26

3\vec{GA}- \red2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

Posté par
matheux14re : Barycentre 11-09-20 à 10:56

Je sais , mais moi je savoir dans tout les cas en général..

Citation :
Quand on est à la forme aMA² - bMB² +cMC²   par exemple ,

Où a+b+c=0

Quelles sont les chemins possibles pour aboutir à l'ensemble recherché ?

On introduit le milieu X de [BC] ?

On introduit le sommet l'un des sommets du triangle ABC ?

...

Et pourquoi devrait on le faire ?


Où X est un point quelconque.

Posté par
PLSVUre : Barycentre 11-09-20 à 14:21

  voir cours sur Fonction scalaire de Leibniz

Posté par
PLSVUre : Barycentre 11-09-20 à 15:49

Dans  le cas où la somme des coefficients  est nulle a+b+c=0
et soit O un point quelconque
a\vec{MA}^2+b\vec{MB}^2+c\vec{MC}^2=

a(\vec{OA}-\vec{OM})^2+b(\vec{OB}-\vec{OM})^2+c(\vec{OC}-\vec{OM})^2=
aOA^2+bOB^2+cOC^2- 2\vec{OM}(a\vec{OA}+b\vec{0B}+c\vec{OC})=K-2\vec{OM}.(a\vec{OA}+b\vec{0B}+c\vec{OC})
si le point O  n'est pas donné ,  la valeur de K est donnée
tu cherches le sommet A,B ou C qui vérifie la valeur  donnée (-2a^2)
ici on trouve B
ce qui permet de trouver le vecteur ,puisqu il existe un point  G , barycentre du système {(Aa');(B,b);(Cc)} avec a'+b+c≠0  
à  utiliser pour déterminer  le vecteur




  

  

Posté par
matheux14re : Barycentre 11-09-20 à 23:40

C'est un tout petit peu clair maintenant..

3-a) h(M)=3MA²-2MB²-MC²

3-2-1=0. Donc \vec{u}=3\vec{MA}-2\vec{MB}-\vec{MC} est indépendant du point M.

D'où h(M)=3(\vec{MB}+\vec{BA})²-2MB²-(\vec{MB}+\vec{CA})²


h(M)=3(MB²+2\vec{MB}.\vec{BA}+BA²)-2MB²-(MB²+2\vec{MB}.\vec{BC}+BC²

h(M)=3MB²+6\vec{MB}.\vec{BA}+3BA²-2MB²-MB²-2\vec{MB}.\vec{BC}-BC²


h(M)=\vec{MB}.(6\vec{BA}-2\vec{BC})+3BA²-BC²

*\vec{u}=3\vec{MA}-2\vec{MB}-\vec{MC} étant indépendant du point M , considérons le point \text{I} , milieu du segment [AC].


\vec{u}=3\vec{IA}-2\vec{IB}-\vec{IC}=2\vec{IA}-2\vec{IB}-\vec{IC}

\vec{u}=2\vec{IA}+\vec{IA}+2\vec{BI}+\vec{CI}

\vec{u}=2\vec{IA}+\vec{CA}+2\vec{BI}

\vec{u}=2\vec{BA}+\vec{CA}.

Or 3\vec{BA}-\vec{BC}=3\vec{BA}+\vec{CB}=2\vec{BA}+\vec{BA}+\vec{CB}=2\vec{BA}+\vec{CA}=\vec{u}.

*3BA²-BC²=3a²-(a√5)²=3a²-5a²=-2a²

Donc h(M)=\vec{MB}.\vec{6\vec{BA}-2\vec{BC}}+3BA²-BC².

==> h(M)=\vec{MB}.\vec{u}-2a².


b)* h(I)=3IA²-2IB²-IC²=3a²-2(a\sqrt{2})²-a²

h(I)=3a²-4a²-a²=3a²-5a²

h(I)=-2a²

Donc I \in (∆).

*h(B)=3BA²-2BB²-BC²

h(B)=3a²-(a\sqrt{5})²

h(B)=3a²-5a²

h(B)=-2a²

Donc B \in (∆).

c) h(M)=-2a² \iff \vec{MB}.\vec{u}-2a²=-2a² \\ \\ \iff  \vec{MB}.\vec{u}=0

Je n'arrive pas à en déduire (∆) ..

Posté par
PLSVUre : Barycentre 12-09-20 à 00:59

3-a) h(M)=3MA²-2MB²-MC²   OK
on introduit  de suite le point B  puisque on te demande de trouver  un vecteur  tel que
h(M)=h(M)=\vec{M\red{B}}.\vec{u}-2a²
h(M)=3(MB²+2\vec{MB}.\vec{BA}+BA²)-2MB²-(MB²+2\vec{MB}.\vec{BC}+BC²)

h(M)=3MB²+6\vec{MB}.\vec{BA}+3BA²-2MB²-MB²-2\vec{MB}.\vec{BC}-BC²


h(M)=\vec{MB}.(6\vec{BA}-2\vec{BC})+3BA²-BC²
tu calcules 3BA²-BC²
3a²-(a√5)²=3a²-5a²=-2a²   OK

tu reportes
h(M)=\vec{MB}.(6\vec{BA}-2\vec{BC})-2a^2 =-2a^2  OK
  équivaut à
\vec{MB}.(6\vec{BA}-2\vec{BC})=0   OK
tu peux simplifier par 2
\vec{MB}.\red(3\vec{BA}-\vec{BC})=0   \\
  tu peux le construire ou tu peux déterminer un vecteur colinéaire   en introduisant le point G ,  construit pour la question 1) on trouve \vec{GC} \\   
     si le produit scalaire est nul   les vecteurs \\vec {BM} et \vec{u} sont ..............

Posté par
matheux14re : Barycentre 12-09-20 à 01:34

Orthogonaux mais je ne comprends pas très bien..

Posté par
PLSVUre : Barycentre 12-09-20 à 01:49

  ortho = droit  
   les droites  (GC )et ( BI) sont perpendiculaires
les vecteurs \vec{GC}et \vec{BI} sont orthogonaux .

Posté par
PLSVUre : Barycentre 12-09-20 à 01:51

ortho = droit  
   les droites  (GC )et ( BI) sont perpendiculaires
les vecteurs \vec{GC}}et \vec{BI} sont orthogonaux .
c'est visible sur la figure

Posté par
matheux14re : Barycentre 12-09-20 à 07:48

Oui mais comment en déduire (∆) ?

Posté par
matheux14re : Barycentre 12-09-20 à 07:54

Ah oui (∆) est la droite perpendiculaire à (GC) passant par les points B et I.

On on peut aussi remarquer que (BI) est la médiatrice à [GC].

Mais comment justifier celà ?

Posté par
matheux14re : Barycentre 12-09-20 à 08:02

Et pourquoi

Citation :
tu peux le construire ou tu peux déterminer un vecteur colinéaire   en introduisant le point G
?

Seulement le point G ?

Posté par
PLSVUre : Barycentre 12-09-20 à 09:17

  OUI, car si tu   traces  le vecteur\vec{u} =3\vec{BA}-\vec{BC}, tu remarques que les vecteurs \vec{GC} et \vec{u}  sont colinéaires.
Seulement le point G ? oui
3\vec{BA}-\vec{BC}=.......
sachant que \3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

Posté par
matheux14re : Barycentre 12-09-20 à 09:45

Citation :
OUI, car si tu   traces  le vecteur\vec{u} =3\vec{BA}-\vec{BC}, tu remarques que les vecteurs \vec{GC} et \vec{u}  sont colinéaires.


Effectivement ,

Barycentre


Mais qu'est ce que celà implique ?

Citation :
3\vec{BA}-\vec{BC}=.......
sachant que \3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}


J'ai essayé presque toute les combinaisons possibles , mais aucune ne correspond à 3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}.

Voilà :

3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}.

D'où G=bar {(A, 3) ; (B, -2) ; (C, 1)}

Donc :

*\vec{CG}=\dfrac{3}{2}\vec{CA}-\vec{CB}

* \vec{BG}=\dfrac{3}{2}\vec{BA}+\dfrac{1}{2}\vec{BC}

*\vec{AG}=\vec{BA}+\dfrac{1}{2}\vec{CA}.

Ai je commis une faute ?

Posté par
PLSVUre : Barycentre 12-09-20 à 09:57

  1ere étape  tu introduis G ( avec Chasles)
3\vec{BA}-\vec{BC}=........................... \\
    que trouves -tu  ?

Posté par
matheux14re : Barycentre 12-09-20 à 10:15

3\vec{BA}-\vec{BC}=3(\vec{BG}+\vec{GA})-(\vec{BG}+\vec{GC})

Posté par
PLSVUre : Barycentre 12-09-20 à 10:28

tu développes
3\vec{GA}+2\vec{BG}-\vec{GC}=3\vec{GA}-2\vec{GB}-\vec{GC}
or
3\vec{GA}-2\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

tu termines

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