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barycentre

Posté par
mac21
06-02-22 à 19:54

Bonsoir je ne sais pas par où commencer sur cet exercice  
G=bar{(A,1);(B,3);(C,1)} et I le milieu de [AC]
Determiner l'ensembke des points M tel que
|MA +2MB + MC||=||5MI||
Nb: j'ai pas pue mettre les vecteurs[sup][/sup]

Posté par
malou Webmaster
re : barycentre 06-02-22 à 20:04

Bonsoir

tu es sur que ce n'est pas 3MB dans la norme écrite à gauche ?

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 20:07

Non c'est bien 2MB

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 20:10

Bonjour,

Ton énoncé est un peu curieux dans la mesure où :

  

Citation :
G=bar{(A,1);(B,3);(C,1)}


n'a rien à voir avec :

    
Citation :
l'ensemble des points M tel que
||\vec{MA} +2\vec{MB} + \vec{MC}||=||5\vec{MI}||


où il est plutôt indiqué de faire intervenir le barycentre de \{(A,1);(B,2);(C,1)\}

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 20:11

Bonsoir malou

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 20:15

En fait c'est même un qcm don les different resultats sont
a) Mediatrice de [AC]
b)une sphere
c) le plan mediateur de [GI]
d)le vide

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 20:18

Un QCM, pourquoi pas.

Il serait tout de même intéressant de connaître la question exacte :

  dans le plan ou dans l'espace ?

Posté par
malou Webmaster
re : barycentre 06-02-22 à 20:19

bonjour lake

mac21, je pense que c'est une erreur d'énoncé

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 20:29

Dans l'espace desole

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 20:32

Question : determiner l'ensemble des points M de l'espace

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 20:35

Je ne pense pas qu'il ai erreur d'enoncer j'ai bien recopier

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 20:48

Je continue bien qu'étant convaincu  qu'il y a erreur d'énoncé (voir malou au dessus).

On cherche donc l'ensemble des points M de l'espace tels que :

   ||\vec{MA} +2\vec{MB} + \vec{MC}||=||5\vec{MI}||

La moindre des choses est de faire intervenir le point G'
 \\ barycentre du système  \{(A,1);((B,2);(C,1)\} autrement dit, par propriété d'associativité du barycentre, le milieu du segment  [BI] en sorte que :

\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}=4\vec{MG'} (propriété fondamentale du barycentre).

Tu en penses quoi ?

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 21:07

Je vais essayer mais je voulais demander si on pouvais ajouter et soustraire GB afin d'avoir 3GB

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 21:27

G barycentre du système \{(A,1);(B,3);(C,1)} n'est d'aucune utilité ici. Tu peux l'oublier.
Par contre G', barycentre du système   \{(A,1);(B,2);(C,1)\} (le milieu de [BI]) est tout à fait indispensable pour l'étude  de :

  

Citation :
l'ensemble des points M de l'espace tels que :

   ||\vec{MA} +2\vec{MB} + \vec{MC}||=||5\vec{MI}||


Avec ce qui est écrit au dessus :

  ||\vec{MA} +2\vec{MB} + \vec{MC}||=||5\vec{MI}||\Longleftrightarrow 4MG'=5MI

C'est en général une sphère (lorsqu'on travaille dans l'espace).
Si "on ne sait pas", il reste à le prouver ..

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 21:31

Je ne comprznd pas pourquoi c'est une sphère

Posté par
mac21
re : barycentre 06-02-22 à 21:34

Merci pour ton aide lake

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 22:28

Attention : l'erreur dénoncé est patente.
Je continue néanmoins pour ton "édification" :

On en est à : 4\,MG'=5\,MII milieu de [AC] et G' milieu de [BI] sont parfaitement déterminés.

On élève au carré et on met tout dans le premier membre :

  16MG'^2-25MI^2=0

   qu'on peut aussi écrire :

   16\vec{MG'}^2-25\vec{MI^2}=0

(4\vec{MG'}+5\vec{MI}).(4\vec{MG'}-5\vec{MI})=0

On fait intervenir les barycentres J de \{(G',4);(I,5)\} et K de \{(G',4);(I,-5)\} qui donne :

   9\,\vec{MJ}.(-\vec{MK})=0

ou encore \vec{MJ}.\vec{MK}=0  (le point représente un produit scalaire).

   Il s'agit de la sphère de diamètre [JK].

Tout ceci est à prendre avec des pincettes (avec l'erreur d'énoncé plus que probable évoquée plus haut)

Posté par
lake
re : barycentre 06-02-22 à 22:39

Ce que je viens d'écrire est un résultat connu qui date de l'antiquité :

Soit k un réel strictement positif et A,B deux points distincts de l'espace.

  Si k=1, l'ensemble des points M tels que \dfrac{MA}{MB}=k=1 est le plan médiateur du segment [AB]

  Si k\not=1, l'ensemble des points M tels que \dfrac{MA}{MB}=k est une sphère.

Posté par
flight
re : barycentre 07-02-22 à 18:24

salut

pour moi c'est G=bar{(A,1);(B,2);(C,1)}



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