Bonjour
Oui, c'est correct.
Que penses-tu des intervalles ouverts bornés d'extrémités rationnelles?
J'ai posé la question, mais je dois quitter. Quelqu'un prendra ma suite.

je ne sais pas quoi penser des intervalles ouverts bornés d'extrémités rationnelles.

La première question étant correcte, pourriez-vous m'aider avec celle-ci ?
Montrer que si (x_n)_n1 est une suite dense dans E alors {B(x_n, 1/k), n, k1 } est une base d'ouverts de E. (ou B(x,r) est la boule ouverte de centre x et de rayon r)
j'ai trouvé ça : B base de E B E et U E, x U, b B tel que x b U
Mais je ne vois pas comment faire

Bonjour,
je pense avoir trouvé comment faire pour répondre a la 2ème question :
On a X = (x_n)_n1 une suite dense dans E. Soit B = {B(x_n, 1/k) , n,k 1 } =  {B(x_n, 1/k) , (x_n, 1/k) X}
Montrons que B (qui est dénombrable) est une base de E.
Soit O un ouvert de E, soit y O, r_y > 0 tel que B(y, r_y) O.
Par densité de X dans E, a_y X tel que d(a_y, y) < r_y et B(a_y, r_y) O et par densité de dans , q_y tel que d(a_y, y) < q_y < r_y donc y B(a_y, q_y)
Donc, on a d'une part O _yO B(a_y, q_y) et on a y O, B(a_y, q_y) O
Donc on a bien O = _yO B(a_y, q_y)
Donc B est une base d'ouverts de E

Est ce correcte ? et comment démontrer que B est bien dénombrable parce que je le dis mais je ne l'ai pas prouver

Rebonjour

Il vaut mieux mettre un exo en entier, on sait ou on va et on répond mieux au premières questions.

Ta démonstration semble correcte.
et sont dénombrables, donc l'est aussi. Pourquoi on te demande la dénombrabilité?

Bonsoir,
j'ai relue l'énoncé est la dénombrabilité n'est pas demander.

Suite à la remarque de Camélia, voici l'énoncé complet de l'exercice :
Soit E un espace vectoriel normé
1) Donner un exemple de base d'ouverts de E (Aucune démonstration demander)
2) Montrer que si (x_n )_n1 est une suite dense dans E alors {B(x_n, 1/k), n,k1} est une base d'ouverts de E. (ou B(x, r) dénote la boule de centre x et de rayon r)
3) En déduire qu'un espace vectoriel normé séparable admet une base dénombrable d'ouverts
4) Soit E, F deux e.v.n, soit B une base d'ouverts de F et soit f : E F une application. Montrer que f est continue si et seulement si f^-1(b) est un ouvert pour tout b B

Voici ma réponse pour la question 3)
Un espace vectoriel normé E est dit séparable s'il admet une partie A de E qui est dénombrable et dense dans E.
On note A ensemble dénombrable dense de E
Soit B = { B(a, q), (a,q) A}.
Montrons que B (qui est dénombrable) est une base de E.
Soit O un ouvert de E, soit y O, r_y >0 tel que B(y, r_y) O.
Par densité de A dans E, a_y A tel que d(a_y, y) < r_y et B(a_y, r_y) O et par densité de dans , q_y tel que d(a_y, y) < q_y< r_y donc y B(a_y, q_y).
Donc on a d'une part O _{y O} B(a_y, q_y) et on a y O, B (a_y, q_y) O.
Donc on a bien O = _{y O} B(a_y, q_y)
Donc un e.v.n séparable admet une base dénombrable d'ouverts.

Est-ce correcte ?

Pour la question 4) , je ne vois pas comment faire, pourriez-vous m'aider ?

Pour 4)
On sait qu'une foncttion entre espaces topologiques est continue si et seulement si l'image réciproque de chaque ouvert de est un ouvert de . Ici il faut montrer qu'il suffit de vérifier que les images réciproques des ouverts d'une base d'ouverts de sont des ouverts de .

Je crois que ta démonstration du 3) est correcte, mais j'avoue l'avoir juste survolée.

Pour la 4) si je fais :

Soit b un ouvert de F et x f^-1(b). Alors f(x) b et > 0, B(f(x), ) b. Ainsi, f^-1( B(f(x), )) f^-1(b) mais par l'hypothèse f est continue en x, >0 , B(x, ) f^-1(B(f(x), )).
La réciproque est vrai car une boule ouvert B(f(x), ) est un ouvert de F.

Est-ce correcte ?

Ca marche, mais il y a plus simple.

On a toujours et un ouvert quelconque de F est réunion d'éléments de la base d'ouverts.

D'accord, merci beaucoup pour ton aide