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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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base d'un Fq espace vectoriel

Posté par
marcsa
22-05-22 à 12:00

Bonjour,

j'ai un petit problème logique dans la phrase suivante.

On considère p un nombre premier et $q=p^r, r\in \mathbb{N} et $E$ un $F_q$ espace vectoriel de dimension $n$.
Le but est d'étudier des endomorphismes particuliers de $E$, et il est indiqué que, quitte à considérer une base, on pourra étudier des matrices de $M_n(F_q)$ (matrice représentative de l'endomorphisme).

C'est là mon bug, quelle forme a une base de E en tant que $F_q$ espace vectoriel ? Est-ce juste la base canonique habituelle (1,0,0,\dots), (0,1,0\dots), \dots) ou y a t-il un piège?


Merci par avance

Posté par
phyelec78
re : base d'un Fq espace vectoriel 22-05-22 à 12:12

Bonjour,

peut-être (1,p,p2,p3,.......,pn-1,pn)

Posté par
Rintaro
re : base d'un Fq espace vectoriel 22-05-22 à 12:12

Bonjour marcsa,

les F_q-bases de E n'ont pas de forme particulière, tout se passe exactement comme dans un \R-e.v ou un \C-ev.

Par exemple, si q = 4 et n = 2, on peut prendre la base canonique ( (1,0), (0,1) ), mais aussi ( (2,3), (1,3) ) par exemple. Il faut juste faire attention aux relations de liaison qui sont moins explicites à cause des congruences. En plus ici, ça n'a pas l'air de jouer, on veut juste manipuler des matrices plutôt que des endomorphismes, donc on introduit une base au hasard et c'est bon. J'espère t'avoir convaincu.

Bonne journée

Posté par
Rintaro
re : base d'un Fq espace vectoriel 22-05-22 à 12:18

(dans mon exemple, j'ai pris E = Fq x Fq directement)

Posté par
marcsa
re : base d'un Fq espace vectoriel 22-05-22 à 12:25

je vois, merci de m'avoir éclairé !

bonne journée

Posté par
GBZM
re : base d'un Fq espace vectoriel 22-05-22 à 12:27

Bonjour,

Il n'y a aucune raison que E soit (\mathbb F_q)^n, et donc il n'y a aucune raison pour que les éléments de E, et donc les éléments d'une base de E, soient des n-uplets d'éléments de \mathbb F_q.

Posté par
Rintaro
re : base d'un Fq espace vectoriel 22-05-22 à 12:31

C'est pour cela que j'ai précisé avoir pris E = Fq x Fq dans mon exemple.



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