J'ai pas fait le calcul, mais si ton Noyau est réduit à {0}, il est de dimension nulle, donc il n'admet pas de base (à part peut etre le vecteur nul, mais c'est à discuter).
D'après le théorème du rang, ton application est donc injective et son Image correspond à l'espace tout entier (de dimension 3). Donc rg = 3.

si tu trouves (x,y,z)\in ker f \Longleftr x=y=z=0 cela veut dire que le noyau est reduit s esp nulle qui est de dim 0 (dim Imf=3 )

Okok merci beaucoup! Comme la dimension du noyau est nulle cela va me faciliter les calculs pour trouver la base de Im f! Encore merci pour les réponses!

Aucun calcul pour Im f, puisqu'en faisant Gauss sur ta matrice, il te suffit de prendre les 3 vecteurs colonnes, formant une famille libre de dimension égale à celle de Im f et appartenant à Imf.
Donc c'est une base !
A+
Weensie

Bonjour
si vraiment le noyau est réduit au vecteur nul, une base de l'image est la base canonique de R^3 ! pas besoin de se fatiguer avec la matrice de f ....

D'accord ! Merci pour ces précisions c'est cool

Effectivement lafol, mais c'était pour le cas général

J'en profite pour rappeler une formule très pratique : Soient E et F deux espaces vectoriels tels que E soit inclus dans F, si dim (E)= dim (F) alors E=F.

Merci pour la précision, c'est vrai que cette formule est très utile ! Mais est ce que tu pourrais me donner en exemple deux ensembles E,V tel que dim E = dim F mais que E n'est pas inclus dans F ?

Merci

R² et les polynomes de degré inférieur ou égal à 1 par exemple... On dit de deux  espaces de même dimension qu'ils sont isomorphes, c'est à dire qu'on peut construire un isomorphisme d'un espace sur l'autre! Mais ça n'empêche pas qu'ils ne soient pas de la même nature

Okok merci!

Même , mieux tu as qu'à prendre deux droites parallèles

non -parallèles pardon