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Niveau Licence Maths 1e ann
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Base d'un sous espace vectoriel de R4

Posté par
Mathsterminal
30-04-16 à 22:50

Bonjour,
Je bloque sur un sujet d'exercice.
Voici l'énoncé :

On considère le sous-espace vectoriel de ℝ4 suivant :
F={(x,y,z,t)∈ℝ4;−3y−z−t=0et−3x−8y−3z−3t=0}.

Déterminer une base du sous-espace vectoriel F.
Pour donner votre réponse, précisez d'abord le nombre n de vecteurs de la base, puis donnez les n vecteurs de la base.

Je pense que c'est le fait d'avoir deux équations qui me gène..
Merci de votre aide

Posté par
LeHibou
re : Base d'un sous espace vectoriel de R4 30-04-16 à 23:49

Bonsoir,

Écris tes deux équations sous la forme :
−3y= z + t
−3x−8y = 3z + 3t
Tu peux alors les considérer comme un système à résoudre, avec x et y comme inconnues, et z et t comme paramètres indépendants. Tu obtiens une solution de la forme :
x = x(z,t)
y = y(z,t)
z = z
t = t
Le sous-espace F est donc de dimension 2, et la mise sous la forme :
(x)    
(y)  = A.z + B.t
(z)
(t)
te donne les vecteurs A et B de la base

Posté par
Razes
re : Base d'un sous espace vectoriel de R4 01-05-16 à 04:10

Vous avez:

\left\{\begin{matrix}3y+z+t=0\\ 3x+8y+3z+3t=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-\frac{1}{3}z-\frac{1}{3}t\\ x=-\frac{8}{3}y-z-t\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-\frac{1}{3}z-\frac{1}{3}t\\ x=-\frac{1}{9}z-\frac{1}{9}t\end{matrix}\right.

Donc:

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{9}z-\frac{1}{9}t\\ -\frac{1}{3}z-\frac{1}{3}t\\ z\\ t\end{pmatrix}=-\frac{1}{9}z\begin{pmatrix}1\\ 3\\ -9\\ 0\end{pmatrix} -\frac{1}{9}t\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 0\\ -9\end{pmatrix}

Là vous avez vos vecteurs.

Posté par
mdr_non
re : Base d'un sous espace vectoriel de R4 01-05-16 à 06:57

bonjour : )

Lire :

LeHibou @ 30-04-2016 à 23:49


Le sous-espace F est donc de dimension 2, et la mise sous la forme :
(x)    
(y)  = A.z + B.t
(z)
(t)
te donne les vecteurs A et B d'UNE base

Posté par
LeHibou
re : Base d'un sous espace vectoriel de R4 01-05-16 à 08:59

Merci mdr_non pour ce bienvenu rappel à la rigueur



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