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Niveau Maths sup
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Base d’un supplémentaire

Posté par
Louloopings
28-01-24 à 23:16

Bonjour, en regardant des exos d'algèbre linéaire, je bloque sur un :

« Trouver une base d'un supplémentaire dans R^5 de vect( (-2,-1,-3,-5,0)(4,6,6,-6,5)(4,1,-4,-3,5)) »

Et je bloque on montre facilement que la famille est libre et on peux la compléter donc, une solution serait de prendre a priori au pif 2 vecteurs et tester si ils sont libre avec les autres mais résoudre le système a 5 équations a 5 inconnus me parait trop laborieux. Étant persuadé qu'une astuce m'échappe je me tourne vers vous…
Merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Base d’un supplémentaire 28-01-24 à 23:34

tu peux choisir les deux vecteurs parmi les cinq vecteurs de la base canonique de \mathbb R^5

Posté par
Ulmiere
re : Base d’un supplémentaire 29-01-24 à 12:42

Le pivot de Gauss marche bien, même en dimension 5
C'est un peu verbeux, alors tu peux faire les calculs au brouillon sur photoshop ou paint si tu veux économiser du papier et reporter ensuite au propre sur ta copie. Mais c'est pas compliqué.

Sinon, une petite remarque : as-tu vérifié que vect(...) est de dimension 3 avant de chercher 2 vecteurs pour le compléter ? Rien dans l'énoncé ne dit que tu peux admettre que c'est le cas

Posté par
Louloopings
re : Base d’un supplémentaire 29-01-24 à 18:59

La famille est libre a priori donc vect de trois vecteur libre forme un espace isomorphe a R^3 non ?
Pour le pivot de Gauss je vois comment ça pourrait nous aider à compléter la base

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Base d’un supplémentaire 29-01-24 à 20:56

Tu peux commencer par extraire un déterminant d'ordre 3 qui soit non nul :

par exemple ici \left|\begin{array}{ccc}-2&4&4\\-1&6&1\\-3&6&-4\end{array}\right|=80\neq0

puis tu complètes par les deux derniers vecteurs de la base canonique ce qui donne :

\left|\begin{array}{ccccc}-2&4&4&0&0\\-1&6&1&0&0\\-3&6&-4&0&0\\-5&-6&-3&1&0\\0&5&5&0&1\end{array}\right|=80\neq0



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