Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Base de Mn(K) formée de matrices de rang p
Bonjour!
Ma démonstration est-elle correcte?
Peut-on construire une base de Mn(K) formée de matrices de rang p?
La réponse est (me semble-t-il) oui.
* rg = 1 les matrices Eij font l'affaire
* à l'ordre p:
E11 peut s'écrire comme:
U - V
(2000) (1000)
(0100) (0100)
(0010) - (0010)
(0000) (0000)
dont les rangs sont égaux à p. Donc E11 (et donc tous les Eij, les matrices de la base canonique, qui sont équivalentes à E11) s'écrivent comme différence de 2 matrices de rang p:
Eij = A E11 B (équivalence des matrices Eij)
= A (U - V) B = A U B - A V B (matrices de rang p car A et B sont inversibles).
Des matrices de rang p engendrent une base de Mn(K), donc elles engendrent Mn(K). De ce système générateur, on peut extraire un système libre de n matrices, qui sera une base de Mn(K).
Donc la propriété est démontrée.
Est-ce correct?
Bonjour jeanseb.
Problème peu engageant au départ. T'a-t-il été demandé sans autres préliminaires ?
En ce qui concerne ta preuve, je la trouve élégante, mais je me demande si AUB - AVB est encore de rang p ? Ou alors, je n'ai pas saisi ta récurrence.
Peux-tu nous éclairer sur ces deux interrogations ?
A plus RR.
Merci Raymond d'avoir jeté un oeil!
Cet exercice est censé illustrer une leçon d'agrégation interne sur "le rang en algèbre linéaire". J'avais des notes sur le début de la démonstration, et j'ai essayé de terminer le travail.
Justement, il ne semble pas s'agir d'une récurrence:c'est évident pour p=1, et on utilise l'idée de p=1 pour les autres rangs.
AUB - AVB n'est pas de rang p, puisque c'est équivalent à Eij qui est de rang 1. Mais l'idée est d'engendrer les Eij (qui forment une base) par des AUB et des AVB qui sont de rang p. Un théorème sur l'existence d'une base dans une famille génératrice fait alors l'affaire, me semble-t-il.
Sinon, si tu as un ou deux exercices intéressant sur le rang, je suis preneur!
Merci et à bientôt!
Merci pour tes explications. Je pense que ta peruve est bonne.
Pour d'autres exercices :
1°) les matrices de rang 1. j'ai envoyé sur l'île un petit texte à ce sujet, mais il est en cours de traîtement.
2°) un sujet sorti à polytechnique il y a fort longtemps et qui traitait des groupes de matrices. Pas les sous-groupes de GLn(R), mais des ensembles qui forment des groupes multiplicatifs.
Un exemple : soit J la matrice carrée d'ordre n dont tous les termes sont égaux à 1. (On sait que J² = nJ).
On considère G = {aJ, a € R*}. Alors G est un goupe multiplicatif de neutre (1/n)J.
Ce sujet prenait un groupe matriciel G et demandait de prouver que tous les éléments de G ont le même rang.
Je vais essayer de trouver d'autres thèmes.
A plus RR.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac