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Base de trigonalisation de matrices

Posté par
Zormuche 01-05-19 à 19:17

Bonjour

Je n'ai pas compris comment établir une base de trigonalisation d'une matrice

Dans le cas de la diagonalisation, on a que E est somme directe des sev propres, ainsi en mettant bout à bout les bases des espaces propres, on a une famille libre à n éléments donc une base de E

Dans le cas d'une matrice non diagonalisable, E n'est pas somme directe des sev propres. En mettant bout à bout les bases des espaces propres, on a une famille libre de moins de n éléments, donc on doit la compléter pour faire une base. Mais comment la compléter ? C'est ça que je n'ai pas compris

En cherchant un peu j'ai vu de tout : certains disent qu'on peut la compléter avec ce qu'on veut tant que le résultat est une famille libre, d'autres exercices corrigés donnaient par exemple : on cherche u3 tel que XXX (aucune idée de où sort cette condition XXX)

Dans mon cours il me semble avoir vu \ker((f-\lambda_i\text{id})^{m_i}) où  m_i  est la multiplicité algébrique de la valeur propre  \lambda_i  qui pose problème (qui ne vérifie pas \dim(E_{\lambda_i})=m_i )

Posté par
Zormuchere : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 19:22

Voici un exemple : M=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & -2\end{pmatrix}   de polynôme caractéristique  -(X+1)(X-1)^2  et \operatorname{Sp}(f)=\{-1,1\}

On a calculé  E_{-1} =\operatorname{Vect}((1,1,2))  et  E_1=\operatorname{Vect}((1,0,1))  donc la matrice est trigonalisable, mais pas diagonalisable. Comment déterminer un troisième vecteur pour une base de trigonalisation ?

Faut-il travailler sur  \ker{((f-\text{id})^2)}  ?

Posté par
lafol Moderateurre : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 19:37

Bonjour
là tu n'as pas besoin de te fatiguer : il ne te manque qu'un vecteur, et avec les deux vecteurs propres, tu as deux premières colonnes avec les zéros où il faut pour avoir une matrice triangulaire. tu peux choisir ce que tu veux comme troisième vecteur, elle restera triangulaire !
après, si tu veux une triangulaire particulière (blocs de Jordan, par exemple) là il faut un peu plus travailler

Posté par
Zormuchere : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 19:48

Ah je vois ! donc les calculs compliqués interviennent quand il y a au moins deux vecteurs à compléter ?

Posté par
lafol Moderateurre : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 19:49

c'est ça

Posté par
larrechre : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 19:52

Bonjour,

un truc pratique est d'écrire a priori que dans la base cherchée

M'=\begin{pmatrix} -1 &a & b\\ 0& 1 &c \\ 0&0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f(v_ 1) &f(v_2) & f(v_3) \end{pmatrix}

On résout alors de proche en proche les systèmes

f(v_ 1)=-v_1 \\ f(v_2)=av_1+v_2 \\ f(v3)=bv_1+cv_2+v_3

Mais il est vrai qu'ici n'importe quel v_3 indépendant de v_2 dans l'espace propre E_1 conviendra.

Posté par
Zormuchere : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 20:16

le coefficient (3,3) doit-il nécessairement valoir 1 parce que la valeur propre 1 a pour multiplicité deux ?

Posté par
larrechre : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 20:24

Oui, les valeurs propres se retrouvent sur la diagonale, et comme ici la valeur propre 1 est de multiplicité 2, elle figure deux fois.

Posté par
mousse42re : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 21:18

Salut

On peut faire encore mieux, puisque \ker (f-Id)^2 est stable par f, on a : a=b=0 et

M'=\begin{pmatrix} -1 &0 & 0\\ 0& 1 &c \\ 0&0 & 1 \end{pmatrix}

Posté par
larrechre : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 21:50

Et pourquoi pas c=1 ?

Posté par
Zrunre : Base de trigonalisation de matrices 01-05-19 à 21:53

C'est exactement le théorème de Jordan


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