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Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert

Posté par
robby3 10-05-08 à 12:31

Bonjour tout le monde, toujours dans le meme registre...
voilà un exercice ou j'ai encore la correction mais que je ne comprend pas:

Citation :
Dans le R-espace de Hilbert H=L_R^2(R), montrez que les classes des fonctions:

_k: t\rightarrow _{[k,k+1]}(t)=_{[0;1]}(t-k)
définissent un systeme orthonormé;ce systeme est-il une base hilbertienne de H?


>pour répondre à ça:
"Que le systeme soit orthonormé est immédiat puisque les intèrieurs des supports des fonctions en jeu sont 2 à 2 disjoints".

Alors si quelqu'un comprend ce que mon prof veut dire...
Merci d'avance!

Si on voit pas les interieurs des supports,pouvez me donner un autre moyen de répondre à la question?

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:42

Salut robby,

l'intérieur du support de \chi_k est ]k,k+1[,

pour k,l distincts que dire de la valeur du produit scalaire <\chi_k,\chi_l>? et que dire de ||\chi_k||_2^2?

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:44

Sinon plus simplement,si je fais
<_{[0,1]}(t-k),_{[0,1]}(t-l)> pour l\neq k
c'est assez évident que ça fait 0 non?

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:47

<_{[0,1]}(t-k),_{[0,1]}(t-l)> pour l\neq k
pardon.


Salut Romu!

||\chi_k||_2^2=<\chi_k,\chi_k>=0 ou 1 non?

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:48

donc c'est pas une base hilbertienne!

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:49

Si tu le vois plus facilement comme ça

Pour k,l distincts, le support de \chi_k et \chi_l ont au plus un point un commun, donc le produit \chi_k \chi_l est l'indicatrice de l'ensemble vide ou d'un singleton,
il est alors clair que son intégrale est nulle.

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:54

Citation :
||\chi_k||_2^2=%3C\chi_k,\chi_k%3E=0 ou 1


ça ne peut pas être 0, par définition du produit scalaire et du fait que \chi_k n'est pas l'application nulle.

Déjà il est clair que \chi_k^2=\chi_k, donc:

3$||\chi_k||_2^2=\Bigint_{\mathbb{R}} \chi_k^2 d\lambda = \Bigint_{\mathbb{R}} \chi_k d\lambda = \lambda([k,k+1])= 1

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 12:58

Citation :
ça ne peut pas être 0

>oh lalala!!
ça c'est énorme quand meme
excuse moi

je suis d'accord sur le calcul,mais juste une question bete...pourquoi on regarde ||\chi_k||_2^2 ??

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 13:03

pour pouvoir affirmer que ce système est orthonormé (ie orthogonal et tous les vecteurs du système doivent être de norme 1).

Après il reste à voir si c'est une base hilbertienne.

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 14:29

ok Romu!

Pour montrer que c'est une base hilbertienne, il faut montrer que:
\bar{\Bigcup_{k=1}^{n} Vect(\chi_k)}=H ??

concretement que faire?
et si c'est pas une base Hilbertienne comment le prouver(que s'en est pas une!)?

Merci encore!

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 14:39

euh non, dans le cas où c'est une base hilbertienne, je pense qu'il faut plutôt montrer que 3$\overline{\textrm{Vect} (X_k)_{k\in \mathbb{Z}}}=H.

Sinon trouver un contre-exemple, ie un vecteur de H qui n'est pas limite au sens de L^2 d'une suite de \textrm{Vect} (X_k)_{k\in \mathbb{Z}}.

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 14:46

ah bon?
dans mon cours, j'ai une union de vect!

mais comment est-ce que je regarde si l'adhérence de toute combinaison linéaire de ces fonctions forment H tout entier?

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 14:53

Citation :
ah bon?
dans mon cours, j'ai une union de vect!


Je n'ai pas eu la même définition, elles doivent sûrement être équivalentes mais en tout cas ton union est trop petite (il n'y que n termes dans ton union, ça me paraît peu)

Citation :
mais comment est-ce que je regarde si l'adhérence de toute combinaison linéaire de ces fonctions forment H tout entier?


Je ne sais pas c'est peut être pas vrai,

je pensais chercher une partie dense dans L^2 et voir si cette partie est incluse dans 3$\textrm{Vect}%20(X_k)_{k\in%20\mathbb{Z}}, mais je ne vois pas de partie dense pour l'instant.

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:06

dans la correction,le prof écrit:
" ce n'est pas une base hilbertienne car par exemple la classe de la fonction:
\phi:=\chi_{[0,1/2]}-\chi_{[1/2,1]}
est orthogonale à tout les \chi_k et n'est pas égale à 0."
alors déjà:
1)pourquoi ça répond à la question,en quoi le fait que ce soit orthogonale à tout les \chi_k permet de dire que c'est pas une base hilbertienne?

2)si je fais <\chi_{[0,1/2]},\chi_{[0,1]}>-<\chi_{[1/2,1]},\chi_{[0,1]}>
ça nous fait quoi?

Posté par
carpediemBase hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:07

salut

une idée : tes vecteurs engendrent les fonctions en escalier...

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:14

Salut Carpediem.

Citation :
tes vecteurs engendrent les fonctions en escalier...

>oui...et les fonctions en esaclier ne peuvent constituer de base hilbertiennes??

ps:y'a des points sur le 0 et le \chi_k de mon post de 15:06.

Posté par
carpediemBase hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:21

j'en sais rien car les espaces de Hilbert c'est loin pour moi
j'avais pour idée ensuite d'approcher (presque (rapport avec la densité)toute fonction de H par une suite de fonctions en escalier
mais effectivement il y a peut-être un pb du fait de la longueur constante des intervalles = 1
donc ça n'est pas une base car tu ne peux pas engendrer avec tes vecteurs (et c'est la longueur des intervalles qui gène)
ce me semble-t-il

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:25

Citation :
une idée : tes vecteurs engendrent les fonctions en escalier...


salut carpediem, c'est contradictoire avec la correction du prof de robby qu'il nous a communiqué dans son post de 15:06 me semble-t-il,
car les fonctions en escalier à support compact sont denses dans L^2_{\mathbb{R}}(\lambda), et à ce moment là on aurait bien une base hilbertienne.

Robby> pour 2) c'est pas difficile de le calculer, pour 1) je cherche

Posté par
perroquetre : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:26

Bonjour à tous.

Citation :
Si  (e_i)_{i\in I} est une base hilbertienne de E, alors, pour tout vecteur x de E     3$ ||x||^2=\sum_{i \in I} |(e_i|x)|^2


Ceci répond à la question que posait robby3 dans son post de 15h06. Son prof a donné un exemple de vecteur x, dont la norme serait 0, alors que ce vecteur n'est pas le vecteur nul.

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:31

Ahhhh d'accord Perroquet!!
parce qu'en fait on trouve 0 mais je me demander pourquoi il disait que c'était pas égale à la classe de 0...
c'est compris...mais bon,pour trouver ce fameux x...j'aurais pas eu la correction,j'y serais jamais arrivé
Merci!

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:34

je vous propose la suite

Citation :
On note V_0 l'adhérence du R-sous-espace vectoriel engendré par les classes des \chi_k.
Calculer la projection orthogonale sur V_0 de la classe de la fonction f(t)=\frac{1}{1+|t|}(dont on vérifiera qu'il s'agit bien d'un élément de H)


pour la vérification que ça appartient à H,pas de probleme, critere de Riemann.
par contre le calcul de la projection!!
il faut que j'exprime une base hilbertienne de H et que j'exprime ensuite les coordonnées de f dans cette base?!

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:34

ok pour 1) je crois que j'ai saisi:

Déjà \phi est dans H, de plus \phi est orthogonal à \chi_k pour tout k,

\phi^{\bot} contient donc \textrm{Vect}(\chi^k)_k et de plus \phi^{\bot} est fermé, donc contient aussi \overline{\textrm{Vect}(\chi^k)_k}.

Comme \phi est non nul, il n'est donc pas dans \overline{\textrm{Vect}(\chi^k)_k}.

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:35

grillé

Posté par
carpediemBase hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:38

c'est bien ce que je disais : le pb c'est la longueur de l'intervalle des fonctions en escalier engendrées par tes vecteurs
(avec mon post de 15h07 j'avais pas encore celui de 15h06...)
si les support de tes vecteurs (ne serait-ce qu'un seul suffirait) n'était pas tous de longueur 1 ça marcherait

pour 2) ça doit faire 1/4 - 1/4 =0 non ?
ou 1/2 - 1/2 =0 renon ?

Posté par
romure : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 15:47

plutôt 1/2-1/2  

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 16:01

ahh pardon,j'étais parti sur la suite...
moi j'ai 1/2-1/2=0.
mais peut-etre me suis-je trompé

Posté par
fusionfroidere : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 16:28

c'est quand tes partiels robby ? moi la semaine prochaine

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 16:33

pour la suite,
V_0 est engendré par la classe des \chi_k...
donc le projeté orthogonale de f(t)=\frac{1}{1+|t|}
est donné par la formule
Proj_{V_0}(f)=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}<f(t),\chi_k>\chi_k
ça me donne \Bigsum_{k=0}^{+\infty}ln(\frac{k+2)}{k+1}.\chi_k
est-ce correct?

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 16:35

c'est quand tes partiels robby ? moi la semaine prochaine
>les miens sont déjà passés,ça fait 2semaines!C'est pour ça que j'ai du mal à m'y remettre
là,je prépare le rattrapage (le 23 juin )

Posté par
fusionfroidere : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 16:40


bon courgae, surtout par ce beau temps pff...

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 16:42

merci!y'en faut!
Toi aussi!

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 17:18

euh en fait dans la correction dont je dispose,
ils ont la meme chose que moi sauf qu'ils ajoutent en plus...
\Bigsum_{k=1}^{+\infty} ln(\frac{k+1}{k}).\chi_{-k}

et je vois pas ce que viens faire \phi_{-k}...en fait je comprend pas d'ou vient cette seconde partie?
alors si quelqu'un pouvait m'expliquer
Merci encore!

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 17:21

Citation :
je vois pas ce que viens faire \chi_{-k}

et non pas \phi_{-k}

Posté par
carpediemBase hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 17:29

ne serait-ce pas quand k<0 ou alors parce que tu as |t| et donc faut faire 2 cas
ce me semble-t-il

Posté par
robby3re : Base Hilbertienne d'un R-espace de Hilbert 10-05-08 à 17:32

ah oui!!!
pfff je croyais que k était dans Z,c'est pour ça que je pigeais pas!
mais là,k est dans R...effectivement,faut que je distingue k>=0 et k<0...
ok ça semble etre correct!
Merci Carpediem!


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