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base/matrice

Posté par Evgueny (invité) 13-08-05 à 18:30

Bonjour,
petit problème avec une démonstration:
Soit (X1... Xn) et (Y1... Yn) deux bases de Rn; démontrer que la suite de matrices (Xi,tYj), 1in, 1jn est une base de Mn(R).

Posté par Evgueny (invité)re : base/matrice 13-08-05 à 18:31

pardon, la suite de matrices (Xi.tYj)

Posté par re : base/matrice 14-08-05 à 01:35

Bonsoir Evgueny;
notons $2$(e_1,..,e_n)$ la base canonique de $2${\mathbb{R}}^n$ et $(E_{kl})_{1\le k,l\le n}$ celle de $2$ M_n(\mathbb{R})$ il est alors facile de voir que: $2$\{{\forall(k,l)\in\{1,..,n\}^2\\E_{kl}=e_kte_l$
comme $2$(X_1,..,X_n)$ et $2$(Y_1,..,Y_n)$ sont 2 bases de $2${\mathbb{R}}^n$ chaque $2$ e_k$ s'exprime dans ces 2 bases c'est à dire que:
$2$\forall k\in\{1,..,n\}\exists(\alpha_{k1},..,\alpha_{kn}),(\beta_{k1},..,\beta_{kn})/e_k=\Bigsum_{i=1}^{i=n}\alpha_{ki}X_i=\Bigsum_{i=1}^{i=n}\beta_{ki}Y_i$ et on a alors:
$E_{kl}=e_kte_l=(\Bigsum_{i=1}^{i=n}\alpha_{ki}X_i)t(\Bigsum_{i=1}^{i=n}\beta_{li}Y_i)=\Bigsum_{1\le i,j\le n}\alpha_{ki}\beta_{lj}X_itY_j$
et voilà on voit que la famille $2$(X_itY_j)_{1\le i,j\le n}$ engendre $2$ M_n(\mathbb{R})$ et comme elle est de cardinal $2$ n^2$ c'est une base de $2$ M_n(\mathbb{R})$ CQFD

Posté par Evgueny (invité)re : base/matrice 14-08-05 à 12:14

merci elhor, ton explication est super claire. Je pense que j'ai bien compris à présent.

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