Bonjour

la question c) est une application directe du théorème de prolongement des fonctions de classe que tu as dû voir en cours.

Kaiser

cela dit, si tu veux le redémontrer ici, il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis pour montrer d'un coup que ta fonction est dérivable et que la dérivée est continue.

Kaiser

Comment utiliser les résultats précédent pour prouver proprement que ma fonction est C1 ?

Bonjour,

Kaiser> le TAF, on va l'utiliser seulement pour régler le problème en 0 ou pas ?

avec ou sans le théorème ?

Kaiser

Rouliane > oui !

Kaiser

Mais comment on va fair eparce que pour le TAF on bosse sur un intervalle ouvert. Je pensais partir de quelque chose genre " il existe c dans ]0,x[ etc ... )
Comment "englober" le 0 ?

Pas besoin d'englober le 0.
on considère le taux d'accroissement , on utilise le TAF : il existe entre 0 et x tel que et on fait tendre x vers 0.

Kaiser

Mais est ce qu'il ne suffit pas de dire qu'elle est rapport de fonction C1 pour conclure ?

karim > non, car le dénominateur s'annule en 0.
sinon, on n'aurait pas eu besoin de faire un DL en 0 pour prouver la continuité.

Kaiser

alors est ce que je dérive la fonction, et je prouve qu'elle est continue ?
En fait est ce qu'elle est déjà dérivable ? C'est trivial non ?

ah oui, on montre la continuité de la dérivée en 0 c'est bien ça ?

Rouliane >

pas tout de suite : avec ça, on montre que g est dérivable en 0.
Pour montrer que g' est continue en 0, il faut voir si g'(o) coïncide avec la limite de g' en 0 (d'ailleurs, je me suis trompé, c'est g à la place de f dans mon message de 11h34).

Kaiser

pour la question b je n'est pas eu besoin de la dériver, puisque j'ai son DL à l'ordre 1 qui m'a permis de deriver directement, est ce que c'est acceptable ?

Mais je vois pas comment on montre la dérivabilité en 0 ici : en faisant tendre x vers 0, on a :

Mais rien nous dit que parce qu'il faudrait que g' soit continue en 0.

Enfin je comprends rien, ça tourne en rond le problème, non ?

non, pas du tout !
en effet, si une fonction f admet un DL à l'ordre 1, la seule chose que l'on peut dire c'est que cette fonction est dérivable mais on ne peut rien dire de la dérivée.

un contre-exemple classique :

si x est non nul et f(0)=0.

on a f(x)=o(x) (donc un un DL à l'ordre 1) mais pour x non nul, on a

on peut alors voir facilement que f' n'admet pas de limite en 0.

Kaiser

donc je commence par calculer g'(0), je dis que la fonction est dérivable sur ]0,pi], je la dérive puis je montre que sa limite en 0 est bien g'(0), ainsi aurais je montré que g est de classe C1 ?

Rouiane > on n'a pas besoin de la continuité de g' en 0. de plus, on ne doit pas écrire g'(0) avant de prouver que ça existe.
La question b), nous dit que g' admet une limite finie que l'on note b.
Lorsque x tend vers 0, tend vers 0 donc tend vers b
Ceci nous dit alors g ' est dérivable en 0 et que donc on a en plus la continuité de g' en 0.

Kaiser

non, g'(0), on te demande de le calculer à la question c.
Pour la question b), il suffit de dériver la fonction et de calculer la limite en 0.

Kaiser

mais pour établir que la fonction g est C1 il faut d'abord calculer g'(0), pour montrer qu'elle est bien continue ?

Ok Kaiser, merci, je pensais qu'il fallait tout redémontrer ( qu'on avait pas l'existence de cette limite) !

Sinon, y'a un truc que je comprends pas : dans ton message de 11h51, le DL à l'ordre 1 de la fonction nous dit que f(0)=f'(0)=0 ! ( c'est pas vrai si on a un ordre supérieur, par exemple c'est pas parce que f(x)=o(x²) que f''(0) existe, mais dans le cas d'un DL à l'ordre 1 on a bien l'existence de f(0) et f'(0) il me semble )
ou j'ai pas compris alors ce que tu voulais dire

Kaiser tu pourrais m'aider sur d'autre questions qui touchent les intégrales ?

karim > tu parles de la question b ou c ?
Rouliane > oui, effectivement, ce truc ne marche au maximum qu'à l'ordre 1.
Au-delà, c'est faux.
Mais où est le problème exactement ?

Kaiser

dans mon message de 12:02 je parlais de la c !

karim > il suffit de poster un nouveau topic !

Kaiser

dans ce cas, on fait tout en même temps : on montre la dérivabilité et le caractère en 0 en faisant ce que j'ai fait dans mon message de 11h55

kaiser

Une fonction est de Classe C1 sur I si et seulement si : 1) elle est dérivable sur I
                                                         2) sa dérivée est continue sur I


Donc , pour montrer que ta fonction est de classe C1 sur [0,] , tu montre que :
1) g est continue  sur [0,] : a) On calcule le DL en 0 de g : g(x)= a0 + a1*x + ... + o(x^n) pour
                                    pouvoir déterminer la limite de g en 0 : lim g = a0 = 0
                                                                             x0+                
                                 b) on déduit que g(0)=a0 et donc g est continue en 0 , et donc continue  
                                    sur [0,Pi] par opération des fonctions continues .

2) On montre que g est dérivable sur [0,] :
                                 a) g est dérivable sur ]0,Pi] par opérations des fonctions dérivables
                                 b) pour montrer que g est dérivable en 0 :
                                     a')Soit on calcul la limite en 0+ du taux d'accroissement de g
                                     b') Soit on dérive le DLn(0) de g pour obtenir le DLn-1(0) de g' :
                                         g'(x)= a1+a2*x+...+o(x^(n-1)) : g'(0)=a1
                                        Rq 1: Si f admet un DLn(0)et si f est dérivable au
                                         voisinage de 0 n'admet pas forcément un DLn-1(0)     
                                          Rq 2 : Pour montrer q'une fonction admet un DLn(a) , on peut
                                                 soit le déterminer , soit  montrer que la fonction
                                                 et de classe au moins Cn sur un voisinage de a[/b][/b]
                                              Pour le DLn-1(0) de g' , on a utilisé la 2éme méthode
              
                                        
  3) on montre que g' est continu sur [0,] :
        g' est clarement continue sur [0,] , reste à démontrer que g'est continue en
       0 :
       a) g'(0) = 0 (car g(0)=0)
       b) par le calcul du DL de g' , on déduit que lim g'(x) = a1 = 0
      D'ou g'(0)=lim g'(x) et g est continue sur [0,]

1)+2)+3)g est de classe C1 .
                                                      

Pour s'entrainer , téléchargez ce fichier d'or les.mathematiques.free.fr/pdf/livre.pdf  et essayez de faire  les exercices pages 494+495 .