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bernoulli
salut
dans l'équation différentiel ci-dessous qui se résout par la méthode de bernoulli, il y a un passage que je comprend pas trop...
dy/dx - y =xy² donc bernoulli avec n=2 P1(x)=-1, Q1(x)=x
v=y^(1-2)=y^(-1)
P(x)=(1-2) * (1) =1
Q(x)=(1-2)x= -x
dv/dx + v = -x
u= e^(int(dx)) = e^x
v*e^x= - int(x* e^x) dx
pour la ligne ci-dessus, voici ce que je comprend
le "-" est en fait -1 provenant de -x (Q (x)) on le met en dehors de int...
si ça aurait été -2x on aurait fait: - 2 int(...)
ensuite pour e^x, ça vient de P(x)....
si P(x) aurait été = a 3, on aurait eu e^(3x)
mon raisonnement est-t'il bon?
merci
Voila comment je procède pour ce genre d'équation dites de Bernoulli.
dy/dx - y = xy² (1)
Si y est différent de 0, on divise tous les termes par y²
y'/y² - (1/y) = x (2)
Posons v = -1/y
dv/dx = (1/y²) dy/dx
dv/dx = y'/y²
Remis dans (2), on obtient:
dv/dx + v = x
C'est une équation linéaire, facile à résoudre.
Equation de l'équation avec second membre = 0
dv/dx + v = 0
v = C.e^-x
Solution particulière de l'équation avec second membre
v = ax + b
v' = a
-> a + ax + b = x
Donc on a le système:
a = 1
a+b = 0
soit a = 1 et b = -1
Une solution particulière de l'équation avec second membre est donc v = x - 1
Les solutions générales de dv/dx + v = x sont :
v = C.e^-x + x - 1
---
Et comme v = -1/y, on a:
y = -1/(C.e^-x + x - 1)
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Remarque: y = 0 est solution singulière de l'équation dy/dx - y = xy²
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