Une petite idée :

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 +....+ 1/999000=
=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/(999*1000)

En 4ème, on peut calculer les premières sommes partielles et conjecturer le résultat (que l'on pourrait démontrer par récurrence)

1/2+1/6=2/3
2/3+1/(3*4)=3/4
...
(n-1)/n + 1/n(n+1)=((n-1)(n+1)+1)/n(n+1)
=n²/n(n+1)=n/(n+1)

Donc la somme est égale à 999/1000.
C'est la seule idée que j'ai pour le moment mais n'hésite pas à redemander si cette réponse ne te semble pas satisfaisante.

@+