257^(1/2)=256^(1/2)*(1+1/256)^(1/2)<16*(1+(1/2)*(1/256)-(1/4)*(1/256)^2+(3/8)*(1/256)^3) puisque le terme suivant du DL est positif (il vaut (15/16)*(1/256)^4
Or -(1/4)*(1/256)^2+(3/8)*(1/256)^3)=-(1/4)*(1/256)^2(1-3/512)<-3*10^-6
(16+1/32)-257^(1/2)>3*10^-6: la réponse est donc non

Le second est vrai puisque le DL de sinx commence par un terme en x (c'est donc x fois un DL à l'ordre 12), celui de cosx-1 par un terme en x²(donc x² fois un DL d'ordre 13 - 12 en fait puisque le cosinus est pair) ; celui de (sinx)²(cosx-1) est pair , et sera le produit d'un terme en x^4 par un DL d'ordre 12 pair, donc d'ordre 13...

Pour le troisième, en dérivant
(3f(x)²+1)f'(x)=4
6f(x)f'(x)²+(3f(x)²+1)f"(x)=0
donc f(0)^3+f(0)=2 soit f(0)=1 (car (f(0)-1)(f(0)²+f(0)+2)=0 n'a que cette solution réelle)
(3f(0)²+1)f'(0)=4 soit f'(0)=1
6f(0)f'(0)²+(3f(0)²+1)f'(0)=0 donc f"(0)=-3/2
Si je ne me suis pas trompé, f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x²/2+o(x²)=1+x-3x²/4+o(x²)

On pourrait également faire une vérification directe: si  f(x)= 1+x+(1/2)x²+o(x²)
f(x)^3+f(x)= (1+x+(1/2)x²+o(x²))^3+ 1+x+(1/2)x²+o(x²)=(1+3x+(9/2)x²+o(x²))+1+x+(1/2)x²+o(x²)
=2+4x+5x²+o(x²)
C'est donc faux

merci pour tes reposes

désolé mais je ne suis pas convincu par la reponse 2.j'ai du mal a comprendre ton resonnement.
pourrez tu le reprendre
merci.

raisonnement: ce sont les cloches qui résonnent...

Un DL de sinx à l'ordre 13, est le produit de x par un DL à l'ordre 12 (pair)
en élevant au carré, on obtient le produit de x² par un DL, toujours à l'ordre 12, et toujours pair
Un DL de cosx à l'ordre 15 est en fait limité à l'ordre 14 puisque cosx est pair.
Un DL de cosx-1 à l'ordre 14 est le produit de x² par un DL à l'ordre 12 (pair)
Enfin, par multiplication, on obtient un DL de (sinx)²(cosx-1), produit de x^4 par un DL à l'ordre 12 , pair, donc en fait à l'ordre 13, donc un DL à l'ordre 17
Rappel: le produit de deux DL à l'ordre n est un DL à l'ordre n; le produit d'un DL à l'ordre n par x^p est un DL à l'ordre n+p

merci bcp