Devoir n° 3 : Partie entière

Définition : on appelle partie entière d'un réel x, qu'on note E(x), le plus
grand entier relatif inférieur ou égal à x. Ainsi,
E(1,3) = 1
E(-3,4) = -4
Il est essentiel de comprendre, pour le reste du problème, les deux
propriétés du réel E(x) :
1. C'est un entier relatif
2. C'est le plus grand parmi tous ceux qui sont inférieurs ou égaux à x.

1.      Propriétés

a. Calculer E( ), E( ),             E(-
3)    E( ),  = 3                           
       E( ), = 1   E(- 3) = -2
b. Comparer E(x) et x, pour tout x réel. En utilisant le fait que E(x)+1 est
un entier relatif, et que E(x) ≤ E(x)+1, comparer x et E(x)+1.
En déduire un encadrement de x à l'aide de E(x). Quelle est l'amplitude
de cet encadrement ?
On a vu dans la définition donnée ci-dessus que E(x) était le plus grand
entier relatif inférieur ou égal à x, on a donc : E(x) ≤
x         Etant donné que E(x) + 1 est un entier relatif et que
E(x) ≤ E(x)+1, on a donc :                          
x ≤ E(x)+1 On déduit donc que :    E(x) ≤ x
≤ E(x)+1   Amplitude : E(x)+1 - E(x) = 1    
c. Utiliser b. pour montrer que E(x)+1 ≤ x+1, pour tout x réel. Comparer
ensuite E(x+1) et E(x)+1, pour tout x réel.           On a vu dans
la question b. que E(x) ≤ x et étant donné que l'on ne change
pas une inégalité si l'on ajoute à ses deux membres un même nombre
positif, on en déduit que :        
                            E(x)+1 ≤ x+1     
On a aussi : E(x)+1 ≤ E(x+1)
d. Soient x et y deux réels quelconques. En utilisant deux fois b. montrer
que E(x)+E(y) ≤ E(x+y) pour tous x et y réels. Trouver deux
réels x et y tels que E(x)+E(y)=E(x+y), puis deux réels x et y tels
que E(x)+E(y) = E(x+y)-1
On a vu au-dessus que  E(x)+1 ≤ E(x+1)  et aussi que l'on ne change
pas une inégalité si l'on ajoute à ses deux membres un même nombre
positif, on remplace alors dans l'inégalité précédente 1 par y et
on obtient :
E(x)+E(y) ≤ E(x+y)

2.           La fonction x     E(x).

a. Quel est l'ensemble de définition Df de cette fonction ?        Df =
  R
b. Montrer que cette fonction est croissante sur R.                       
           Il faut que pour tou x et tout x' appartenant à R
x ≤ x' et f(x) ≤ f(x')
c. Tracer dans un repère orthonormé (O,i,j) la courbe représentative de la
fonction définie sur R par x   E(x). Montrer algébriquement que cette
fonction n'est ni paire, ni impaire. J'ai réussi à tracer le
graphique mais je n'ai pas réussi à le poster.
Pour que cette fonction soit paire, il faut que pour tout x appartenant
à R  , E(x) = E(-x). Pour montrer que cette fonction n'est pas paire
il nous suffit de trouver un contre-exemple : par exemple E(-3,3)
ainsi E(-3,3)=-4 et E(-(-3,3)=2. Ces résultats n'étant pas égaux
cette fonction n'est en aucun cas paire.
Pour que cette fonction soit impaire, il faut que pour tout x appartenant
à R  , - E(x) = E(-x). Pour montrer que cette fonction n'est pas
impaire il nous suffit de trouver un contre-exemple : par exemple
E(-3,3) ainsi E(-(-3,3)=2 et - E(-3,3)=4. Ces résultats n'étant pas
égaux cette fonction n'est en aucun cas paire.                  Cette
fonction est alors ni paire ni impaire.          
d. Quelle est la limite de E(x) lorsque x tend vers + ∞ ? et vers - ∞
?           
- la limite de E(x) lorsque x tend vers + ∞ est +∞  
- la limite de E(x) lorsque x tend vers - ∞ est - ∞
e. Résoudre graphiquement dans R les équations E(x) = x, puis E(x) = x au carré.
On prend par exemple le point où E(x)=2 et x=2
Par contre il existe un unique cas où E(x)=xau carré et c'est le cas
où E(x) et x valent tous les deux 1 car 1 au carré=1.

3.             Autres fonctions

a. Préambule : soient deux fonctions f et g définies sur le même ensemble D, à
valeurs positives, et croissantes sur D. On définit la fonction h
: D R , x     f(x)g(x)
Monter que
pour tout x et tout y appartenant à R  , f(x)g(x)-f(y)g(y) = (f(x)-f(y))g(x)
+ (g(x)-g(y))f(y)
En déduire que h est croissante sur D.                           
    (f(x)-f(y))g(x) + (g(x)-g(y))f(y) = f(x)g(x) - f(y)g(x) + f(y)g(x)
- f(y)g(y)                                  = f(x)g(x)-f(y)g(y)
            
Je n'arrive pas à montrer que cette fonction est croissante dans R.
b. On considère la fonction x   xE(x). Etudier les variations de cette
fonction                      
Dans [0, +∞ [ et la tracer dans un repère orthonormé pour x parcourant
[0;3].  Je ne sais pas comment m'y prendre pour la tracer.
c. On considère la fonction f : x   x-E(x)
i. Quel est son ensemble de définition ?     Df= R
ii. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, pour x parcourant
[-2 ;2]. Je ne sais pas comment m'y prendre pour tracer cette courbe.
iii. Que conjecturez-vous sur f, d'après l'allure de la courbe ?    
D'après l'allure de la courbe cette fonction est croissante.

Merci, de vérifier ce que j'ai déjà fais et de compléter les quelques trous.
Je vous remercie une fois de plus pour le travail que vous vous donner.
Merci, merci.